每日一题[1930]引入参数

设 $a, b, c \in \mathbb{R}_{+}$.证明:$a+\sqrt{a b}+\sqrt[3]{a b c} \leqslant \dfrac{4}{3}(a+b+c)$.

解析

根据均值不等式,有\[\begin{cases} a=a,\\\sqrt{ab}=\sqrt{\lambda a\cdot \dfrac{b}{\lambda}}\leqslant \dfrac{\lambda a}2+\dfrac{b}{2\lambda},\\ \sqrt[3]{abc}=\sqrt[3]{\mu a\cdot \dfrac{b}{4\mu }\cdot 4c}\leqslant \dfrac{\mu a}3+\dfrac{b}{12\mu}+\dfrac 43c,\end{cases}\]由 $1+\dfrac{\lambda}2+\dfrac{\mu}3=\dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{1}{12\mu}=\dfrac 43$ 解得 $\lambda=\dfrac 12$,$\mu=\dfrac 14$,因此三式相加可得欲证不等式成立,且取等条件为 $a:b:c=16:4:1$.

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