每日一题[1933]看作整体

设 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 为单位向量,向量 $\overrightarrow c$ 满足 $\left|2\overrightarrow c+\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|$,则 $\left|\overrightarrow c-\overrightarrow b\right|$ 的最大值为(       )

A.$2$

B.$1$

C.$\sqrt 3$

D.$\sqrt 2$

答案    A.

解析    设 $\overrightarrow c-\overrightarrow b=\overrightarrow x$,$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=t$,则\[\left|2\overrightarrow x+\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right|=\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|\implies |t|=\left|2\overrightarrow x+\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right|\geqslant \left|2\overrightarrow x\right|-\left|\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right|,\]即\[\left|\overrightarrow x\right|\leqslant \dfrac{|t|+\left|\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right|}{2}=\dfrac{|t|+\sqrt{5+4t}}{2}\leqslant 2,\]等号当 $t=1$ 时取得(如 $\overrightarrow a=\overrightarrow b=(1,0)$,$\overrightarrow c=(-1,0)$,因此所求最大值为 $2$.

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