每日一题[1932]参数方程

直线 $l$ 交 $y^2=4x$ 于 $A,B$ 两点,若四边形 $OAMB$($O$ 为坐标原点)是矩形,则直线 $OM$ 的斜率的最大值为(       )

A.$\dfrac 14$

B.$\dfrac{\sqrt 2}4$

C.$\dfrac 12$

D.$\dfrac{\sqrt 2}2$

答案    B.

解析    设 $A(4a^2,4a)$,$B(4b^2,4b)$,则\[OA\perp OB\iff 4a^2\cdot 4b^2+4a\cdot 4b=0\iff ab=-1,\]于是直线 $OM$ 的斜率\[k=\dfrac{2a+2b}{2a^2+2b^2}=\dfrac{a+b}{(a+b)^2+2}=\dfrac{1}{a+b+\dfrac 2{a+b}}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 2}4,\]等号当 $a+b=\sqrt 2$ 时取得,因此所求斜率的最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}4$.

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