每日一题[1925]展开分析

已知 $f(x)=\dfrac{a^x-1}{a^x+1}$($a>1$),实数 $x_1,x_2$ 满足 $f(x_1)+f(x_2)=1$,则 $f(x_1+x_2)$ 的最小值为______.

答案    $\dfrac 45$.

解析    函数 $f(x)=1-\dfrac{2}{a^x+1}$ 是 $\mathbb R$ 上的单调递增函数,于是只需要求 $x_1+x_2$ 的最小值.根据题意,有\[f(x_1)+f(x_2)=1\iff \dfrac{2}{a^{x_1}+1}+\dfrac{2}{a^{x_2}+1}=1\iff a^{x_1+x_2}=a^{x_1}+a^{x_2}+3,\]因此\[a^{x_1+x_2}-3=a^{x_1}+a^{x_2}\geqslant 2\sqrt{a^{x_1+x_2}}\implies a^{x_1+x_2}\geqslant 9,\]因此\[f(x_1+x_2)=1-\dfrac{2}{a^{x_1+x_2}+1}\geqslant \dfrac 45,\]等号当 $x_1+x_2={\log_a}9$ 时取得,因此所求最小值为 $\dfrac 45$.

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