每日一题[1931]垂径定理

设直线 $x-3y+m=0$($m\ne 0$)与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}- \dfrac{y^2}{b^2}= 1$($a,b > 0$)的两条渐近线分别交于点 $A,B$,若点 $P\left({m,0}\right)$ 满足 $\left|{PA}\right| = \left|{PB}\right|$,则该双曲线的离心率是______.

答案    $\dfrac{\sqrt 5}2$.

设 $AB$ 的中点 $M(x_0,y_0)$,双曲线的离心率为 $e$,则由 $PM\perp AB$ 以及 $M\in AB$,可得\[\begin{cases} \dfrac{y_0}{x_0-m}\cdot \dfrac 13=-1,\\ x_0-3y_0+m=0,\end{cases}\iff \begin{cases} x_0=\dfrac{4m}5,\\ y_0=\dfrac{3m}5,\end{cases}\]因此根据双曲线渐近线的垂径定理,有\[e^2-1=\dfrac{y_0}{x_0}\cdot \dfrac 13=\dfrac 14\implies e=\dfrac{\sqrt 5}2.\]

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