定义 $\tau(n)$ 为 $n$ 的正约数的数量，则关于 $n$ 的方程\[\tau(n)+\tau(n+1)=7\]的最小的 $6$ 个正整数解的和为_______．
已知实数 $x$ 满足 $\sin ^{10} x+\cos ^{10} x=\dfrac{11}{36}$，且 $\sin ^{12} x+\cos ^{12} x$ 的最简分数表示为 $\dfrac{m}{n}$，则 $m+n=$_______．
一个粒子从点 $(4,4)$ 出发运动，直到它首次碰到坐标轴时停止．当粒子位于点 $(a,b)$ 时，会等可能的运动到 $(a-1, b)$，$(a, b-1)$，$(a-1, b-1)$ 中的某个位置．粒子每次的运动都独立．设粒子到达坐标原点 $O$ 的概率的最简形式为 $\dfrac{m}{3^n}$，则 $m+n=$ _______．
足球队有 $22$ 名队员，其中 $11$ 名球员进行比赛，而剩余的 $11$ 名作为替补上场．在比赛过程中，教练可以进行至多 $3$ 次的换人（比赛中的任何一名球员都可以由一名替补队员代替）．任何被换下场的队员都不能重新进入比赛，尽管进入比赛的替代队员稍后也可能会被换下场．此外不允许同时进行 $2$ 次换人．那么教练可以安排的所有可能的替补方案（包括队员以及替补顺序）的后三位数是_______．
已知 $\triangle ABC$ 满足 $AB=1$，$AC=2$，$\cos A=\dfrac 7{25}$．若 $E$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，满足 $\lambda\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$（$\lambda\in\mathbb R$），且 $\overrightarrow {EB}\cdot \overrightarrow{EC}=0$，延长 $AE$ 至 $BC$ 交于点 $D$，则 $\dfrac{AD}{\lambda}=$ _______．
已知对任意实数 $x$ 都有 $f'(x)=3{\rm e}^x+f(x)$，$f(0)=-1$，若不等式 $f(x)<a(x-2)$（其中 $a<1$）的解集中恰有两个整数，则 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[\dfrac{4}{3{\rm e}},\dfrac 12\right)$
B．$\left[\dfrac{4}{3{\rm e}},1\right)$
C．$\left[\dfrac7{4{\rm e}^2},\dfrac{4}{3{\rm e}}\right)$
D．$\left[\dfrac7{4{\rm e}^2},\dfrac 12\right)$
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-{\rm e}x$，$h(x)=af(x)+2f(-x)+(2a-4){\rm e}x$（$a\in\mathbb R$ 且 $a\ne0$）．
1、讨论函数 $y=f(ax)$ 的单调性．
2、当 $x\geqslant0$ 时，$h(x)\geqslant(a+2)\cos x+({\rm e}-1)(a-2)x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
向量 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 的模均为整数，且\[\left(2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}\right)=52,\quad \left(2\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\right)\left(\left|\overrightarrow{a}\right|+3\left|\overrightarrow{b}\right|\right)=150,\]则下列选项中正确的有（ ）
A．$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ 的最大值和最小值的比值是 $ 3$
B．$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ 可能大于 $0$
C．$\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2$ 的最大值和最小值的比值是 $2$
D．$\left|\left|\overrightarrow {a}\right|-2\left| \overrightarrow{b}\right|\right|=5$
已知在 $\triangle A B C$ 中，$B-C \geqslant \dfrac{\pi}{3}$，且满足其外接圆半径为 $2$，则其面积与周长的比值最大值为（ ）
A．$\dfrac{1}{2}$
B．$\dfrac{3}{8}$
C．$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
D．$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
