每日一题[1926]转换起点

已知圆 $O:x^2+y^2=4$,直线 $l$ 与圆 $O$ 交于 $P,Q$ 两点,$A(2,2)$,若 $AP^2+AQ^2=40$,则弦 $PQ$ 的长度的最大值为______.

答案    $2\sqrt 2$.

解析    应用换底公式将条件转移到圆中来,有\[\begin{split} 40&=\overrightarrow{AP}^2+\overrightarrow{AQ}^2\\ &=\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\right)^2+\left(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA}\right)^2\\ &=OP^2+OQ^2+2OA^2-2\overrightarrow{OA}\cdot \left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\right)\\ &=24-4\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM},\end{split}\]其中 $M$ 为 $PQ$ 的中点,而 $\overrightarrow{OA}$ 的模为 $2\sqrt 2$,因此 $|OM|$ 的最小值为 $\sqrt 2$(当 $O,M,A$ 顺次共线时取得),进而可得 $|PQ|$ 的长度的最大值为 $2\sqrt 2$.

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