每日一题[1928]小冰雹

设 $m$ 为正整数,各项均为正整数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 定义如下:$a_1=1$, \[ a_{n+1}= \begin{cases} \dfrac{a_n}{2},&2\mid a_n,\\ a_n+m,&2\nmid a_n. \end{cases} \]

1、若 $m=5$,写出 $a_8,a_9,a_{10}$.

2、求证:“数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递增”的充要条件是“$m$ 为偶数”.

3、若 $m$ 为奇数,是否存在 $n>1$ 满足 $a_n=1$?请说明理由.

解析

1、根据题意,有\[\begin{array}{c|cccccccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline a_n&1&6&3&8&4&2&1&6&3&8\\ \hline \end{array}\]

2、若 $m$ 是偶数,那么 $a_n=m(n-1)+1$,为单调递增数列; 若 $m$ 是奇数,则 $a_1=1$,$a_2=1+m$,$a_3=\dfrac{1+m}2<1+m$,不为单调递增数列. 综上所述,命题得证.

3、存在. 题目的本质是证明数列会循环,那么首先想到的是把数列的项的取值“压缩”到有限个.给出引理:如果 $m$ 是奇数,那么可以证明数列 $\{a_n\}$ 有上界 $2m$.引理可以利用数学归纳法证明:数列中的所有奇数不超过 $m$,所有偶数不超过 $2m$.

数列有界的证明    数列中的第一个数 $a_1=1$ 符合引理.由于数列中的偶数或者由之前一个偶数除以 $2$ 得到,后者由之前一个奇数加 $m$ 得到;而数列中的奇数(除了首项外)都是偶数除以 $2$ 得到的,因此可以递推证明引理.

数列周期的证明    接下来由于数列有无穷项,而取值有限,因此必然有相同的项出现,因此数列必然为周期数列,现在的问题是能不能回到 $1$.

数列中会出现 $1$ 的证明    根据题意,有\[a_n=\begin{cases} 2a_{n+1},&a_{n+1} \leqslant m,\\ a_{n+1}-m,&a_{n+1}>m,\end{cases}\]这就意味着如果 $a_k=a_{k+T}$ 且 $k\geqslant 2$,那么必然有 $a_{k-1}=a_{k+T-1}$,以此类推,循环节不断前移,可得 $a_1=a_{1+T}$,因此 $1$ 必然在循环节中. 综上所述,存在 $n>1$,满足 $a_n=1$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论