这是华东师范大学第二附属中学数学教材（创新班和理科班用）中的一道例题：
已知锐角三角形\(ABC\)，求证：\[\sum_{cyc}\left(\sin A+\tan A\right)>2\pi.\]
今年天津高考理科数学压轴题（第20题）延续分析风格的导数大题：
设\(f(x)=x-a{\mathrm e}^x(a\in \mathcal R)\)，\(x\in \mathcal R\)．已知函数\(y=f(x)\)有两个零点\(x_1,x_2\)，且\(x_1<x_2\)．
(I) 求\(a\)的取值范围；
(II) 证明\(\dfrac {x_2}{x_1}\)随着\(a\)的减小而增大；
(III) 证明\(x_1+x_2\)随着\(a\)的减小而增大．
这题也是45周数学组功底测试的倒数第二题：
已知函数\(f(x)=(1+x){\mathrm e}^{-2x}\)，\(g(x)=ax+\dfrac {x^3}2+1+2x\cos x\)．当\(x\in [0,1]\)时，
(I) 求证：\(1-x\leqslant f(x)\leqslant \dfrac 1{1+x}\)；
(II) 若\(f(x)\geqslant g(x)\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
这是WMTC2（青年组）的试题：
已知\(a,b,c>0\)且\(a+b+c=1\)，求证：\[2\sqrt 3\leqslant \sqrt {3a^2+1}+\sqrt {3b^2+1}+\sqrt {3c^2+1}<4.\]
记得以前在平面几何的小册子里有个优美的解法中应用了这个结论：
如果多边形\(S\)和\(T\)的面积相等，那么可以将多边形\(S\)剪成有限个多边形，然后重新拼接成多边形\(T\)．
这个看起来难以入手的问题其实并不难，让我们一起来解决它．
今年北京市海淀区高三期中考试压轴题改为了导数题，增加了一道常规的数列大题．本来想看看组合大题的，有点微微的失落啊．这次的导数大题对于学过切线法的同学可以说是轻而易举，稍微有些困扰的地方是对异常的处理．
题目是这样的：
设函数\(f(x)=\dfrac 1{5x^2+16x+23}\)，\(L\)为曲线\(C:y=f(x)\)在点\(\left(-1,\dfrac 1{12}\right)\)处的切线．
(I) 求\(L\)的方程；
(II) 当\(x<-\dfrac 15\)时，证明：除切点\(\left(-1,\dfrac 1{12}\right)\)之外，曲线\(C\)在直线\(L\)的下方；
(III) 设\(x_1,x_2,x_3\in\mathbf R\)，且满足\(x_1+x_2+x_3=-3\)，求\(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\)的最大值．
本题是2014年海淀高三期中考试的选择最后一题，设问方式新颖大方，推荐一下：
设等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)．在同一个坐标系中，\(a_n=f(n)\)及\(S_n=g(n)\)的部分图象如图所示，则（ ）
A．当\(n=4\)时，\(S_n\)取得最大值
B．当\(n=3\)时，\(S_n\)取得最大值
C．当\(n=4\)时，\(S_n\)取得最小值
D．当\(n=3\)时，\(S_n\)取得最小值
试试看，你能不能不动笔把这个题目做出来呢？
这是 2008 年莫斯科数学竞赛中的一个问题．
构造一个多边形，使得这个多边形的边界上存在这样的一个点 O ：经过点 O 的任意直线均会把该多边形分成面积相等的两部分．
这看起来不大可能对吧？但其实构造却并不困难．你能想出来吗？
下面是趣题集 Which Way Did the Bicycle Go 中的第 71 个问题．
如下图，在这个六边形的围墙中，如果站在图中圆点的位置，那么有两面墙不能被完全看见（其中一面墙完全看不见）．能否设计出一个多边形围墙，使得站在围墙里面的某个地方后，所有的墙都至少有一部分是不可见的？
这是我的学生朱怡洁提出来的：
证明或否定：任意有理数都可以写成\[\frac {a^3+b^3}{c^3+d^3}\]的形式，其中\(a,b,c,d\in \mathbf{Z}\)．
