Math173

2015年长沙市一中高考二模文科数学15题：

过点\(M(4,3)\)的动直线\(l\)交\(x\)轴的正半轴于点\(A\)，交\(y\)轴的正半轴于点\(B\)．设点\(P\)是三角形\(OAB\)的面积取最小值时，三角形\(OAB\)内切圆上的动点，则\(z=PO^2+PA^2+PB^2\)的取值范围是_______．

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今天的题目是2015年北京市海淀区高三二模理科数学压轴题：

对于数列\(A:a_1,a_2,\cdots,a_n\)，经过变换\(T\)：交换\(A\)中某相邻两段的位置（数列\(A\)中的一项或连续的几项称为一段），得到数列\(T(A)\)．例如，数列\(A\)：\[a_1,\cdots,a_i,\underbrace{a_{i+1},\cdots,a_{i+p}}_M,\underbrace{a_{i+p+1},\cdots,a_{i+p+q}}_N,a_{i+p+q+1},\cdots,a_n\]经交换\(M\)、\(N\)两段位置，变换为数列\(T(A)\)：\[a_1,\cdots,a_i,\underbrace{a_{i+p+1},\cdots,a_{i+p+q}}_N,\underbrace{a_{i+1},\cdots,a_{i+p}}_M,a_{i+p+q+1},\cdots,a_n,\]其中\(p\geqslant 1\)，\(q\geqslant 1\)．设\(A_0\)是有穷数列，令\(A_{k+1}=T\left(A_k\right)\)（\(k=0,1,2,\cdots\)）．

（1）如果数列\(A_0\)为\(3,2,1\)，且\(A_2\)为\(1,2,3\)，写出数列\(A_1\)；（写出一个即可）；

（2）如果数列\[\begin{split}A_0:9,8,7,6,5,4,3,2,1,\\A_1:5,4,9,8,7,6,3,2,1,\\A_2:5,6,3,4,9,8,7,2,1,\\A_5:1,2,3,4,5,6,7,8,9.\end{split}\]写出数列\(A_3\)，\(A_4\)；（写出一组即可）；

（3）如果数列\(A_0\)为等差数列：\(2015,2014,\cdots,1\)，\(A_n\)为等差数列：\(1,2,\cdots,2015\)，求\(n\)的最小值．

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今天的题目是2015年北京市海淀区高三二模理科数学第18题：

已知函数\(f(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\)．

（1）求函数\(f(x)\)的零点及单调区间；

（2）求证：曲线\(y=\dfrac{\ln x}{x}\)存在斜率为\(6\)的切线，且切点的纵坐标\(y_0<-1\)．

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2015年重庆市三诊题10：

设\(H\)、\(P\)是三角形\(ABC\)所在平面上异于\(A\)、\(B\)、\(C\)的两点，用\(\overrightarrow a\)、\(\overrightarrow b\)、\(\overrightarrow c\)、\(\overrightarrow h\)分别表示向量\(\overrightarrow{PA}\)、\(\overrightarrow{PB}\)、\(\overrightarrow{PC}\)、\(\overrightarrow{PH}\)．已知\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow c\cdot \overrightarrow h=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow h=\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow h,\]且\(\left|\overrightarrow{AH}\right|=1\)，\(\left|\overrightarrow{BH}\right|=\sqrt 2\)，\(\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt 3\)．点\(O\)为三角形\(ABC\)外接圆的圆心，则三角形\(AOB\)、三角形\(BOC\)、三角形\(AOC\)的面积之比是（        ）

A．\(1:\sqrt 2:\sqrt 3\)

B．\(2:\sqrt 3:1\)

C．\(1:\sqrt 3:2\)

D．\(\sqrt 2:1:\sqrt 3\)

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设函数\(f(x)=2ax^2+bx-3a+1\)满足对于任意\(x\in [-4,4]\)，\(f(x)\geqslant 0\)恒成立，则\(5a+b\)的最小值是_______．

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在半径为\(2\)的球面上有三个点\(A,B,C\)，求\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)的取值范围．

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本题为2013年广东省深圳市高三年级第二次调研考试理科数学第21题．

定义\(\rho (x,y)=\left|{\mathrm e}^x-y\right|-y\left|x-\ln y\right|\)，其中\(x\in\mathcal R\)，\(y\in\mathcal R^+\)．

（1）若\(a>0\)，\(f(x)=\rho (x,a)\)，求\(f(x)\)在定义域内的零点的个数；

（2）设\(0<a<b\)，函数\(F(x)=\rho (x,a)-\rho (x,b)\)，求\(F(x)\)的最小值；

（3）设（2）中最小值为\(T(a,b)\)，若各项都是正数的无穷数列\(\left\{a_n\right\}\)单调递增，证明：对一切正整数\(n\)，均有\[\sum_{i=1}^{n}{T\left(a_i,a_{i+1}\right)}<\left(a_{n+1}-a_1\right)\ln 2.\]

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已知数列\(\left\{x_n\right\}\)和\(\left\{y_n\right\}\)满足\(x_0=5\)，\(y_0=2\)，以及\[\begin{cases}x_{n+1}=-\dfrac{7}{2}x_n+6y_n,\\y_{n+1}=-3x_n+5y_n.\end{cases}\]求\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n\)以及\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n\)．

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已知椭圆\(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)，\(D\)为其左顶点．若存在直线\(l\)过点\(M(t,0)\)，其中\(-2<t<2\)交椭圆于\(A\)、\(B\)两点，使\(S_{\triangle AOB}=\lambda S_{\triangle AOD}\)，则称\(M\)为\(\lambda\)分点．

（1）求证：\(M(1,0)\)是\(1\)分点；

（2）求证：\(M(1,0)\)不是\(2\)分点．

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