征解问题[3] 数论(已解决)

这是我的学生朱怡洁提出来的:

证明或否定:任意有理数都可以写成\[\frac {a^3+b^3}{c^3+d^3}\]的形式,其中\(a,b,c,d\in \mathbf{Z}\).

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征解问题[3] 数论(已解决)》有 3 条评论

  1. 孟灏(高远)说:

    咦,怎么有些部分没有显示呢?难道是字符超了。。
    证明:设00,d>0,得1/2<x/y<2

  2. 孟灏(高远)说:

    我们可以证明更强的结论:
    任意正有理数都可以表示为\(\dfrac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\),其中\(a,b,c,d\)都是正整数。
    证明:设\(t>0\),得\(\dfrac 12<\dfrac xy<2\) 对于任意正有理数\(r=\dfrac xy\),均存在正整数\(p,q\), s.t. \(cube root\left(\dfrac{1}{2r}\right)<\dfrac pq< cube root\left(\dfrac 2r\right)\) 故\(\dfrac 12<\left(\dfrac pq\right)^3\cdot r<2\) 故\(\left(\dfrac pq\right)^3\cdot r=\dfrac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\),其中\(a,b,c,d\)都是正整数。 故\(r=\dfrac{(qa)^3+(qb)^3}{(pc)^3+(pd)^3}\) Done! 解答者:孟灏 2015年02月13日

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