2014年天津高考压轴题

今年天津高考理科数学压轴题（第20题）延续分析风格的导数大题：

设\(f(x)=x-a{\mathrm e}^x(a\in \mathcal R)\)，\(x\in \mathcal R\)．已知函数\(y=f(x)\)有两个零点\(x_1,x_2\)，且\(x_1<x_2\)．

(I) 求\(a\)的取值范围；

(II) 证明\(\dfrac {x_2}{x_1}\)随着\(a\)的减小而增大；

(III) 证明\(x_1+x_2\)随着\(a\)的减小而增大．

(I) 如图，分离变量\[a=\dfrac x{{\mathrm e}^x}\]容易得到\(a\)的取值范围为\(\left(0,\dfrac 1{\mathrm e}\right)\) ．

(II) \(x_2\)随着\(a\)的减小而增大，而\(x_1\)随着\(a\)的减小而减小，因此结论显然成立．

(III) 一个简单的想法是将\(x_1+x_2\)表示为\(a\)的函数，因此需要从\[x_1-a{\mathrm e}^{x_1}=0,x_2-a{\mathrm e}^{x_2}=0\]中解出\(x_1,x_2\)．而这是困难的．

因此我们采用类似于参数方程的想法，引入一个参数解决问题．

首先作代数变形去指数化：\[\ln {x_1}=\ln a+x_1,\ln {x_2}=\ln a+x_2.\]

两式相减得\[\ln \dfrac {x_2}{x_1}=x_2-x_1.\]

令\(\dfrac {x_2}{x_1}=t\)，其中\(t>1\)，则可以解得\[x_1=\dfrac {\ln t}{t-1},x_2=\dfrac {t\ln t}{t-1}.\]

这样我们就完成了\(x_1+x_2\)的函数化：\[x_1+x_2=\dfrac {1+t}{1-t}\cdot \ln t.\]

以下略．

备注：在处理对数函数时，\(\dfrac {x_2}{x_1}=t\)是非常重要的换元方式．