2015年高考数学广东卷理科第21题（压轴题）：
数列\(\left\{a_n\right\}\)满足：\[a_1+2a_2+\cdots+na_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}},n\in\mathcal N^*.\]
（1）求\(a_3\)的值；
（2）求数列\(\left\{a_n\right\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)；
（3）令\(b_1=a_1\)，\(b_n=\dfrac{T_{n-1}}n+\left(1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n\right)a_n\)（\(n\geqslant 2\)），证明：数列\(\left\{b_n\right\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)满足\(S_n<2+2\ln n\)．
注 以下试题均为学生回忆的试题，不能保证其真实性和正确性．欢迎读者给出解答，谢谢！
1、已知\(f(x)=2005\left(x-\dfrac 12\right)^3+x\)．求\(\sum\limits_{k=1}^{2015}{f\left(\dfrac{k}{2015}\right)}\)．
2、已知正数数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\((n+1)a_{n+1}=na_n+\dfrac{1}{a_n}\)．
（1）证明：当\(n\geqslant 2\)时，\(a_n\geqslant 1\)．
（2）证明：数列\(\left\{a_n\right\}\)收敛．
3、已知椭圆\(C_1:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1\)，\(F(2,0)\)．圆\(C_2:x^2+y^2=5\)．\(M\left(x_0,y_0\right)\)在圆上，且\(x_0>0\)，\(y_0>0\)．过\(M\)点引圆的切线交椭圆于\(P\)、\(Q\)两点．证明：三角形\(PQF\)的周长为定值．
4、如图，把边长为\(4\)的正三角形的三个角（均为边长为\(2\)的正三角形）折上去使其垂直于底面，变成一个球托．把半径为\(\dfrac{\sqrt 6}3\)的球放进去，求圆心到底面的距离．
2015年高考数学天津卷理科第20题（压轴题）：
已知函数\(f(x)=nx-x^n\)，\(x\in\mathcal R\)，其中\(n\in\mathcal N^*\)，且\(n\geqslant 2\)．
（1）讨论\(f(x)\)的单调性；
（2）设曲线\(y=f(x)\)与\(x\)轴正半轴的交点为\(P\)，曲线在点\(P\)处的切线方程为\(y=g(x)\)，求证：对于任意的正实数\(x\)，都有\(f(x)\leqslant g(x)\)；
（3）若关于\(x\)的方程\(f(x)=a\)（\(a\)为实数）有两个正实数根\(x_1\)、\(x_2\)，求证：\(\left|x_1-x_2\right|<\dfrac{a}{1-n}+2\)．
2015年高考数学天津卷理科第8题（选择压轴题）：
已知函数\(f(x)=\begin{cases}2-|x|,&x\leqslant 2,\\(x-2)^2,&x>2,\end{cases}\)函数\(g(x)=b-f(2-x)\)，其中\(b\in\mathcal R\)．若函数\(y=f(x)-g(x)\)恰有\(4\)个零点，则\(b\)的取值范围是（ ）
A．\(\left(\dfrac 74,+\infty\right)\)
B．\(\left(-\infty,\dfrac 74\right)\)
C．\(\left(0,\dfrac 74\right)\)
D．\(\left(\dfrac 74,2\right)\)
2011年高考数学四川卷理科数学第22题（压轴题）：
已知\(f\left( x \right) = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{2}\)，\(h\left( x \right) = \sqrt x \)．
（1）设函数\(F(x)=f(x)-h(x)\)，求\(F(x)\)的单调区间与极值；
（2）设\(a\in\mathcal R\)，解关于\(x\)的方程\[{\log_4}\left[\frac 32f(x-1)-\frac 34\right]={\log_2}h(a-x)-{\log_2}h(4-x);\]
（3）试比较\(f\left( {100} \right)h\left( {100} \right) - \sum\limits_{k = 1}^{100} {h\left( k \right)} \)与\(\dfrac{1}{6}\)的大小关系．
2015年高考北京卷理科数学第20题（压轴题）：
已知数列\(\left\{a_n\right\}\)满足：\(a_1\in\mathcal N^*\)，\(a_1\leqslant 36\)，且\(a_{n+1}=\begin{cases}2a_n,&a_n\leqslant 18,\\2a_n-36,&a_n>18.\end{cases}\)（\(n=1,2,\cdots\)）．记集合\(M=\left\{a_n\left|n\in\mathcal N^*\right.\right\}\)．
（1）若\(a_1=6\)，写出集合\(M\)的所有元素；
（2）若集合\(M\)存在一个元素是\(3\)的倍数，证明：\(M\)的所有元素都是\(3\)的倍数；
（3）求集合\(M\)的元素个数的最大值．
已知函数\(f(x)=3x^2+1\)，\(g(x)=2x\)，数列\(\left\{a_n\right\}\)满足对于一切\(n\in\mathcal N^*\)有\(a_n>0\)，且\(f\left(a_n+1\right)-f\left(a_n\right)=g\left(a_{n+1}+\dfrac 32\right)\)．数列\(\left\{b_n\right\}\)满足\(b_n={\log_{a_n}}a\)，设\(k,l\in\mathcal N^*\)，\(b_k=\dfrac 1{1+3l}\)，\(b_l=\dfrac 1{1+3k}\)．
（1）求证：数列\(\left\{a_n\right\}\)为等比数列，并指出公比；
（2）若\(k+l=9\)，求数列\(\left\{b_n\right\}\)的通项公式；
（3）若\(k+l=M_0\)（\(M_0\)为常数），求数列\(\left\{a_n\right\}\)从第几项起，后面的项都满足\(a_n>1\)．
（1）根据题意，有\[3\left(a_n+1\right)^2+1-\left(3a_n^2+1\right)=2a_{n+1}+3,\]整理得\[a_{n+1}=3a_n,\]于是数列\(\left\{a_n\right\}\)为等比数列，且公比为\(3\)．
（2）由于\(b_n={\log_{a_n}}a\)，于是\[\dfrac{1}{b_n}={\log_a}a_n\]为公差为\({\log_a}3\)的等差数列，记\(d={\log_a}3\)，并设\(b_n=b+nd\)，则根据题意有\[\begin{cases}b+kd=1+3l,\\b+ld=1+3k,\end{cases}\]两式相减得\[d(k-l)=3l-3k,\]于是\[d=-3,\]两式相加得\[2b+d(k+l)=2+3(k+l),\]于是\[b=3(k+l)+1=28,\]因此\(b_n=\dfrac{1}{28-3n}\)．
（3）与（2）类似，可以求得\[d=-3,b=3M_0+1,\]于是可知\(0<a<1\)，因此\(a_n>1\)即\[\dfrac{1}{b_n}={\log_a}a_n<0,\]因此可得当\(-3n+3M_0+1<0\)时，也就是从第\(M_0+1\)项起，后面的项都满足\(a_n>1\)．
2015年高考北京卷理科数学第14题（填空压轴题）：
设函数\(f(x)=\begin{cases}2^x-a,&x<1,\\4(x-a)(x-2a),&x\geqslant 1.\end{cases}\)．
① 若\(a=1\)，则\(f(x)\)的最小值为_______；
② 若\(f(x)\)恰有\(2\)个零点，则实数\(a\)的取值范围是_______．
2015年高考数学新课标I卷第16题（填空压轴题）：
在平面四边形\(ABCD\)中，\(\angle A=\angle B=\angle C=75^\circ\)，\(BC=2\)，则\(AB\)的取值范围是_______．
2015年新课标I卷高考数学理科试题第12题（选择最后一题）：
设函数\(f(x)={\rm e}^x(2x-1)-ax+a\)，其中\(a<1\)，若存在唯一的整数\(x_0\)，使得\(f(x_0)<0\)，则\(a\)的取值范围是（ ）
A．\(\left[-\dfrac{3}{2{\rm e}},1\right)\)
B．\(\left[-\dfrac{3}{2{\rm e}},\dfrac 34\right)\)
C．\(\left[\dfrac{3}{2{\rm e}},\dfrac 34\right)\)
D．\(\left[\dfrac{3}{2{\rm e}},1\right)\)
