今年北京市海淀区高三期中考试压轴题改为了导数题，增加了一道常规的数列大题．本来想看看组合大题的，有点微微的失落啊．这次的导数大题对于学过切线法的同学可以说是轻而易举，稍微有些困扰的地方是对异常的处理．
题目是这样的：
设函数\(f(x)=\dfrac 1{5x^2+16x+23}\)，\(L\)为曲线\(C:y=f(x)\)在点\(\left(-1,\dfrac 1{12}\right)\)处的切线．
(I) 求\(L\)的方程；
(II) 当\(x<-\dfrac 15\)时，证明：除切点\(\left(-1,\dfrac 1{12}\right)\)之外，曲线\(C\)在直线\(L\)的下方；
(III) 设\(x_1,x_2,x_3\in\mathbf R\)，且满足\(x_1+x_2+x_3=-3\)，求\(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\)的最大值．
(I) \(L:y=-\dfrac 1{24}x+\dfrac 1{24}\)；
(II) 略；
(III) 通过前两小题的描述，我们对函数的图象有一个比较清晰的认识：
由(II)，若\(x<-\dfrac 15\)，则\[f(x)\leqslant -\dfrac 1{24}x+\dfrac 1{24}("="iff x=-1).\]
第一种情况，\(x_1,x_2,x_3 \leqslant -\dfrac 15\)．这是我们喜闻乐见的，因为可以这样（其实就是切线法）：
\[\sum f(x)\leqslant -\dfrac 1{24} \sum x+\dfrac 18=\dfrac 14("="iff x_1=x_2=x_3=-1).\]
第二种情况，也就是异常情况．如果三个数中有一个甚至两个跑到了区间\(\left(-\infty,-\dfrac 15\right)\)外，那么用放缩估计：
\[\sum f(x) \leqslant \dfrac 1{10}+\dfrac 5{51}\times 2<\dfrac 14 \lor \sum f(x) \leqslant \dfrac 1{10}\times 2+\dfrac 5{51}<\dfrac 14.\]
呃，就这么简单！最粗略的估计就够用了......
这样我们就得到了\(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\)的最大值为\(\dfrac 14\)．