有关多边形的构造又一则

        这是 2008 年莫斯科数学竞赛中的一个问题.

构造一个多边形,使得这个多边形的边界上存在这样的一个点 O :经过点 O 的任意直线均会把该多边形分成面积相等的两部分.

这看起来不大可能对吧?但其实构造却并不困难.你能想出来吗?

QQ20141107-1        首先,在平面直角坐标系的第一象限内,沿着坐标轴放置一个等腰直角三角形.在第二象限内,拼接一个面积相等的等腰梯形.在第三象限和第四象限内,继续摆放面积相等的等腰梯形,并且让它们离原点越来越远,以保证最终所得的图形确实是一个多边形(而不是一块环形区域).现在,把平面直角坐标系的原点记作点\(O\),则过点\(O\)的任意一条直线都将把整个多边形分成面积相等的两份.

QQ20141107-2

      验证很简单,如上图(只是随意举一个例子).由于

 \[\frac {\triangle OAR}{\triangle OBR}=\frac {\triangle OCQ}{\triangle OFQ}=\frac {\triangle ODP}{\triangle OEQ},\]

因此\[\frac {\triangle OAR}{\triangle OBR}=\frac {CDPQ}{PQFE}.\]又

\[{\triangle OAR}+{\triangle OBR}={CDPQ}+{PQFE},\]

于是\[\triangle OAR+CDPQ=\triangle OBR +PQFE.\]

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