2013年辽宁导数大题

这题也是45周数学组功底测试的倒数第二题：

已知函数\(f(x)=(1+x){\mathrm e}^{-2x}\)，\(g(x)=ax+\dfrac {x^3}2+1+2x\cos x\)．当\(x\in [0,1]\)时，

(I) 求证：\(1-x\leqslant f(x)\leqslant \dfrac 1{1+x}\)；

(II) 若\(f(x)\geqslant g(x)\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

(I) 左边即\[1+x-(1-x){\mathrm e}^{2x}\geqslant 0,\]右边即\[{\mathrm e}^x\geqslant 1+x.\]

(II) 注意到端点\(x=0\)处\(f(x)=g(x)=1\)．因此考虑\[\begin{split}f'(x)&=-{\mathrm e}^{-2x}(1+2x),\\g'(x)&=a+\dfrac 32x^2+2\cos x-2x\sin x.\end{split}\]

有\[f'(0)=-1,g'(0)=a+2.\]

因此得到一个必要条件\(a\leqslant -3\)．

下面证明这个条件的充分性．

当\(a\leqslant -3\)时，要证明原命题成立只需要证明\[(1+x){\mathrm e}^{-2x}\geqslant -3x+\dfrac 12x^3+1+2x\cos x.\]

利用(I)的结论，只需要证明\[1-x\geqslant -3x+\dfrac 12x^3+1+2x\cos x\]

即\[2\geqslant \dfrac 12x^2+2\cos x.\]

以下略．

因此实数\(a\)的取值范围为\((-\infty,-3]\)．

备注    导数大题中利用分析端点得到必要条件，然后通过放缩证明充分性是常用的手段．