趣题:多边形的剪拼

        记得以前在平面几何的小册子里有个优美的解法中应用了这个结论:

如果多边形\(S\)和\(T\)的面积相等,那么可以将多边形\(S\)剪成有限个多边形,然后重新拼接成多边形\(T\).

这个看起来难以入手的问题其实并不难,让我们一起来解决它.

        首先,这是一个一般到一般的问题,并且剪拼操作是可逆的(所谓可逆,就是如果可以由\(A\)得到\(B\),就可以反向由\(B\)还原出\(A\)).因此我们考虑寻找一个特殊的中间状态\(R\),将问题转化为一般到特殊的问题:

QQ20141109-2 

        接下来,我们思考如何选择合适的\(R\).剪拼的过程如图所示:

QQ20141109-1

        为了使得问题变得简单,由\(S\)剪成的“剪裁组”\(A,B,C,\cdots\),以及最后对于\(R\)的拼接用到的“拼接组”\(A',B',C',\cdots\),这两组图形应该选择同一类型多边形.此时我们的问题变成了三个小问题:

  1. 如何将\(S\)划分成同一种多边形\(A\)?
  2. 如何将一系列同类型的多边形\(A',B',C',\cdots\)合并成一个多边形\(R\)?
  3. 如何将多边形\(A\)剪拼成另外一种多边形\(A'\)?(注意,即使\(A\)和\(A'\)是同一类型的多边形,也需要考虑如何剪拼.)

       对于问题1,很明显,选择将任意多边形划分成若干个小三角形是很容易的.

QQ20141109-8

       对于问题2,必须结合问题3一起考虑.因为多边形\(A'\)的选择必须起到“承前启后”的作用.问题2的本质为“可由三角形剪拼”,问题3的本质为“可以合并”.很明显,问题3更具有挑战性.

        事实上,如果我们思考形如“\(f(a)+f(b)=f(c)\)”的问题时,勾股定理\(a^2+b^2=c^2\)一定不能被忽视.考虑到

QQ20141109-3

我们可以将\(A'\)和\(R\)定为正方形了.

        现在重新审视一下问题,原来的问题被简化为了问题2:“任何一个三角形可以剪拼成正方形”.胜利就在眼前了!

        三角形剪拼成最接近正方形的多边形——矩形是容易的:

QQ20141109-5

        因此问题又一次的简化为了“任何一个矩形可以剪拼成正方形”.关于这个问题,我们熟知一个“不完美”的结论(下右图说明了这个结论为什么不完美),任意一个长宽比不大于\(2\)的矩形都可以剪拼成一个正方形:

QQ20141109-4QQ20141109-6

好在我们可以轻松的修复它:

QQ20141109-7

        到这里,我们的证明就结束了,总结一下:

  1. 任意一个多边形都可以剪裁成有限个三角形;
  2. 任意一个三角形都可以剪拼成一个矩形;
  3. 任意一个矩形都可以剪拼成一个长宽比不大于\(2\)的矩形;
  4. 任意一个长宽比不大于\(2\)的矩形都可以剪拼成一个正方形;
  5. 有限个正方形可以剪拼成一个正方形;
  6. 一个正方形可以剪拼成任意一个多边形.
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