趣题：多边形的剪拼

记得以前在平面几何的小册子里有个优美的解法中应用了这个结论：

如果多边形\(S\)和\(T\)的面积相等，那么可以将多边形\(S\)剪成有限个多边形，然后重新拼接成多边形\(T\)．

这个看起来难以入手的问题其实并不难，让我们一起来解决它．

首先，这是一个一般到一般的问题，并且剪拼操作是可逆的（所谓可逆，就是如果可以由\(A\)得到\(B\)，就可以反向由\(B\)还原出\(A\)）．因此我们考虑寻找一个特殊的中间状态\(R\)，将问题转化为一般到特殊的问题：

接下来，我们思考如何选择合适的\(R\)．剪拼的过程如图所示：

为了使得问题变得简单，由\(S\)剪成的“剪裁组”\(A,B,C,\cdots\)，以及最后对于\(R\)的拼接用到的“拼接组”\(A',B',C',\cdots\)，这两组图形应该选择同一类型多边形．此时我们的问题变成了三个小问题：

对于问题1，很明显，选择将任意多边形划分成若干个小三角形是很容易的．

对于问题2，必须结合问题3一起考虑．因为多边形\(A'\)的选择必须起到“承前启后”的作用．问题2的本质为“可由三角形剪拼”，问题3的本质为“可以合并”．很明显，问题3更具有挑战性．

事实上，如果我们思考形如“\(f(a)+f(b)=f(c)\)”的问题时，勾股定理\(a^2+b^2=c^2\)一定不能被忽视．考虑到

我们可以将\(A'\)和\(R\)定为正方形了．

现在重新审视一下问题，原来的问题被简化为了问题2：“任何一个三角形可以剪拼成正方形”．胜利就在眼前了！

三角形剪拼成最接近正方形的多边形——矩形是容易的：

因此问题又一次的简化为了“任何一个矩形可以剪拼成正方形”．关于这个问题，我们熟知一个“不完美”的结论（下右图说明了这个结论为什么不完美），任意一个长宽比不大于\(2\)的矩形都可以剪拼成一个正方形：

好在我们可以轻松的修复它：

到这里，我们的证明就结束了，总结一下：