1、设$S_n$是各项均为正数的等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和，$m,n$是任意的正整数．求证：$$\ln S_{2m}+\ln S_{2n}\leqslant 2\ln S_{m+n}.$$
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每日一题[488]两边夹
若不等式$\left(\dfrac{1}{x-1}+a\right)\cdot \ln x > 1$对一切$x>0$且$x\neq 1$均成立，求实数$a$的值．
[易错题汇编]（十三）概率篇
一、事件与概率
（1）从装有$2$个红球和$2$个黑球的口袋内任取$2$个球，那么是互斥事件的有_____，是对立事件的有_____．
①至少有$1$个黑球，都是黑球
②至少有$1$个黑球，至少有$1$个红球
③恰有$1$个黑球，恰有$2$个红球
④至少有$1$个黑球，都是红球
每日一题[487]谢尔宾斯基三角
如图，由若干个小正方形组成的$k$层三角形图阵，第一层有$1$个小正方形，第二层有$2$个小正方形，依此类推，第$k$层有$k$个小正方形．除去最底下一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第$k$层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为$x_1,x_2,\cdots ,x_k$，其中$x_i\in\{0,1\}$($1\leqslant i\leqslant k$)，其它小正方形标注的数字是它下面的两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为$x_0$．
（1）当$k=4$时，若要求$x_0$为$2$的倍数，则有多少种不同的标注方法？
（2）当$k=11$时，若要求$x_0$为$3$的倍数，则有多少种不同的标注方法？
每日一题[485] π 的估算
设$n$为偶数，且$n\geqslant 6$．记$S_n$为单位圆的内接正$n$边形的面积．
（1）证明：$\dfrac 43S_{2n}-\dfrac 13S_n<\pi<\dfrac 83S_{2n}-2S_n+\dfrac 13S_{\frac n2}$；
（2）已知$1.732<\sqrt 3<1.733$，$3.105<S_{24}<3.106$，证明：$3.14<\pi<3.15$．
每日一题[484]年年岁岁花相似
如图，$AB$是圆$O$的直径，$SA$与圆$O$所在的平面垂直且$SA=AB=2$．$C$为圆$O$上不同于$A,B$的点，$M,N$分别为$A$在线段$SB,SC$上的投影．当三棱锥$S-AMN$的体积最大时，$SC$与平面$ABC$所成角的正弦值是_______．
对数函数三板斧之“清君侧”
自然对数$\ln x$在高一时很不“自然”，但到高二学习导数时就完全不同了，因为$$(\ln x)'=\dfrac 1x.$$自然对数是导数相关的问题中常见的函数组成部分，处理$\ln x$有三板斧——清君侧（让$\ln x$静静）、偷天换日（利用对数的运算性质换元）与毁尸灭迹（将$\ln x$放缩成其它函数，彻底消灭它），这三招处理$\ln x$非常有效．
设函数\(f(x)\)为可导函数，则有\[\left(f(x)\cdot \ln x\right)'=f'(x)\ln x+f(x)\cdot \dfrac{1}{x}.\]这就意味着如果\(f(x)\)不为常函数，那么求导所得的式子中含有\(\ln x\)，这样往往使问题需要多次求导才能解决，处理这类函数的一个有效方法就是将\(\ln x\)前面的部分提出，然后研究剩余部分对应的函数，这种技巧形象的解释就是“清君侧”． 继续阅读
每日一题[483]函数的叠加
已知函数$f(x)=x^2\ln x+a(x^2-x)$($a>0$)，方程$f(x)=m$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2>1$．