[易错题汇编](十三)概率篇

一、事件与概率

(1)从装有$2$个红球和$2$个黑球的口袋内任取$2$个球,那么是互斥事件的有_____,是对立事件的有_____.

①至少有$1$个黑球,都是黑球

②至少有$1$个黑球,至少有$1$个红球

③恰有$1$个黑球,恰有$2$个红球

④至少有$1$个黑球,都是红球

(2)抛掷一枚均匀的骰子,记录面朝上的点数,那么是独立事件的有_____.

①朝上的点数是$3$,朝上的点不是$3$

②朝上的点数是奇数,朝上的点数是$3$

③朝上的点数是奇数,朝上的点数大于$2$

④朝上的点数是奇数,朝上的点数大于$3$

答案 (1)③④、④;

(2)③.(③④可以从独立的定义出发通过计算去确定)


二、概率计算

(1)某家庭有$3$个孩子,这个家庭中恰有$2$个女孩的概率是_____,如果知道其中有$1$名女孩,则该家庭至少有一名男孩的概率为_____;

(2)在区间$[0,10]$上任意取一个整数$x$,则$x$不大于$3$的概率为_____;

(3)在等腰$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$C$为直角,在边$BC$上任取一点$M$,则$\angle CAM<30^\circ$的概率为_____;在$\angle CAB$内作射线交线段$BC$于点$N$,则$\angle CAN<30^\circ$的概率为_____;

(4)从装有$2$个红球和$5$个白球的袋子中随机取出两个球,则这两个球中恰有一个红球的概率为_____;若先从袋中取出一个球,记下它的颜色,放回后搅匀再取一个球,则其中恰有一个红球的概率为_____;

(5)已知事件$A,B$为相互独立的事件,若事件$A$发生的概率为$\dfrac 12$,事件$B$发生的概率为$\dfrac 23$,则其中恰有一个事件发生的概率为_____;

(6)$8$张标有$1,2,3,\cdots,8$的卡片做任意分成两叠,每叠$4$张,则标有$1,2,3$的三张卡片恰在同一叠的概率为_____,标有$1,8$的卡片恰不在同一叠的概率为_____.

(7)从数字$1,2,3,4,5$中随机抽取$3$个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于$9$的概率为_____.

答案 (1)$\dfrac 38$、$\dfrac 67$;

(2)$\dfrac {4}{11}$;

(3)$\dfrac {\sqrt 3}{3}$、$\dfrac 23$;

(4)$\dfrac {10}{21}$、$\dfrac {20}{49}$;

(5)$\dfrac {1}{2}$;

(6)$\dfrac 17$、$\dfrac 47$;

(7)$\dfrac {19}{125}$.


三、离散型随机变量

(1)某人有$5$把钥匙,其中有$1$把可以打开房门,由于忘记是哪一把钥匙,他逐把不重复地试开,那么恰好第三次打开房门的概率是_____;他打开房门时已经试过的钥匙数记为$X$,则$X$的期望为_____;

(2)已知某批产品共计$7$件,其中有$1$件是次品,现在逐件进行产品检验,那么检验出次品所需要的检验次数的数学期望为_____.

(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方胜三局,则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为$\dfrac 23$,则甲以$3:1$的比分获胜的概率为_____,比赛结束需要的比赛次数的期望为_____.

答案 (1)$\dfrac 15$、$3$;

(2)$\dfrac {27}{7}$;(最多需要六次检验)

(3)$\dfrac {8}{27}$、$\dfrac {107}{27}$.

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