每日一题[486]回到原点

若函数$f(x)=x\ln x-ax^2-x+1$存在最大值，求$a$的取值范围．

解    考虑$f(x)$的导函数$$f'(x)=\ln x-2ax=x\left(\dfrac{\ln x}{x}-2a\right),$$考虑函数$y=\dfrac{\ln x}{x}$与直线$y=2a$的交点情况，如图．

这里用到了$$\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)'=\dfrac{1-\ln x}{x^2}.$$

当$2a\geqslant \dfrac 1{\rm e}$时，$f'(x)<0$，无最大值；

当$0<2a<\dfrac{1}{\rm e}$时，设两个交点满足$$0<x_1<{\rm e}<x_2,$$则函数$f(x)$有最大值只需要$$f(x_2)\geqslant \lim_{x\to 0+}{f(x)}=1,$$即$$x_2\ln{x_2}-ax_2^2-x_2+1\geqslant 1,$$由$\dfrac{\ln x_2}{x_2}=2a$，于是上述不等式即$$x_2\geqslant \dfrac 1a,$$由于函数$y=\dfrac{\ln x}x$在$x>{\rm e}$上是单调递减函数，因此上述不等式等价于$$2a=\dfrac{\ln x_2}{x_2}\leqslant -a\ln a,$$解得$a\leqslant \dfrac{1}{{\rm e}^2}$．因此所求$a$的取值范围是$\left(0,\dfrac{1}{{\rm e}^2}\right]$．

注   其中用到了$\lim\limits_{x\to 0+}{x\ln x}=0$，该极限等价于$$\lim_{x\to +\infty}{\dfrac{\ln x}x}=0.$$可以通过$$0<\dfrac{\ln x}x<\dfrac{\sqrt x}x$$证明．