一、统计
（1）为了了解某地参加计算机水平测试的$2001$名学生的成绩，从中抽取了$100$名学生的成绩进行统计分析．运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为_____，每个学生被抽到的概率为_____；
（2）如果$a_k$是$(1+x)^5$中$x^k$的系数，当样本$2,7,a_k,4,3,6$的方差最小时，$k$的值为_____；
（3）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如下），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为$s_1,s_2,s_3$，则它们的大小关系为___________（用“$>$”号连接）．
已知两条直线$l_1,l_2$相交于点$O$，点$A$在直线$l_1$上运动，点$B$在直线$l_2$上运动，且线段$AB$的长为定值$2m$，求$AB$的中点$M$的轨迹．
已知正数数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}^2=\dfrac 13a_n^2+\dfrac 23a_n$，求证：$$a_1+a_2+\cdots+a_n>n-2.$$
1、过椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的准线$x=\dfrac{a^2}c$上的一点$P$作椭圆的割线，交点分别为$M,N$．设$M$在$y$轴右侧，$N$在$y$轴左侧，$F$为椭圆的右焦点，求证：$FP$是$\angle MFN$的外角平分线．
定义$\overline{abc}$是一个三位数，其中各数位上的数字$a,b,c\in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$且不全相同．定义如下运算$f$：把$\overline{abc}$的三个数字$a,b,c$自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补$0$），然后用“较大数”减去“较小数”．例如：$f(100)=100-001=099,f(102)=210-012=198$．如下定义一个三位数序列：第一次实施运算$f$的结果记为$\overline{a_1b_1c_1}$，对于$n>1$且$n\in \mathcal{N}$，$\overline{a_nb_nc_n}=f\left (\overline{a_{n-1}b_{n-1}c_{n-1}} \right )$．将$\overline{a_nb_nc_n}$的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为$d_n$．
（1）当$\overline{abc}=636$时，求$\overline{a_1b_1c_1}$，$\overline{a_2b_2c_2}$及$d_2$的值；
（2）若$d_1=6$，求证：当$n>1$时，$d_n=5$；
（3）求证：对任意三位数$\overline{abc}$，$n\geqslant 6$时，$\overline{a_nb_nc_n}=495$．
对数有非常好的运算性质，比如$$\ln x^{\alpha}=\alpha\cdot \ln x,x>0.$$借助于对数的一些运算性质，我们遇到与对数函数相关的复杂函数时，有时可以先通过换元对函数进行简化，本文就结合例题看看与$\ln x$相关的问题中换元法的强大． 继续阅读
已知函数$f(x)=\dfrac{x^2}2+ax+2\ln x$在$x=2$处取得极值．
（1）求实数$a$的值及函数$f(x)$的单调区间；
（2）方程$f(x)=m$有三个实根$x_1,x_2,x_3$($x_1<x_2<x_3$)，求证：$x_3-x_1<2$．
对于级数求和之后的放缩一直是高中数学的一个难点，对于可以求和的，求和之后再放缩比较容易，对于不能求和的式子，就需要先对求和的式子进行放缩，以使得它可以求和，放缩的方向主要有两个，一个是往等比数列方向进行放缩，另一个是往可以裂项求和的方向进行放缩．这里我们先来说说往等比数列方向进行放缩． 继续阅读
已知点$A$是抛物线$y=\dfrac 12x^2$上的一个动点，过$A$作圆$D:x^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2=r^2$($r>0$)的两条切线，它们分别切圆$D$于$E,F$两点．
（1）当$r=\dfrac 32$，$A$点坐标为$(2,2)$时，求两条切线的方程；
（2）若当$A$在抛物线上（总在圆$D$外部）运动时，直线$EF$都不通过的点构成一个区域，求这个区域的面积的取值范围．
