如图，矩形\(ABCD\)，\(N\)为平面内一点，连接\(AN,DN\)均与\(BC\)相交，作\(CP\perp AN\)于点\(P\)，\(BQ\perp DN\)于点\(Q\)，两垂线的交点为\(M\)，连接\(MN\)，求证：\(MN\perp AD\)．
已知集合$A=\{x|x=a_0+a_1\times 3+a_2\times 3^2+a_3\times 3^3\}$，其中$a_k\in\{0,1,2\}$，$k=0,1,2,3$，且$a_3\ne 0$．则$A$中所有元素之和等于____．
已知数列$\{a_n\}$的各项均为正整数，对于$n=1,2,3,\cdots$，有\[a_{n+1}=\begin{cases} 3a_n+5,2\nmid a_n,\\\dfrac {a_n}{2^k},2^k||a_n,\end{cases}\]其中$k$为正整数，$2^k||a_n$表示$2^k|a_n$且$2^{k+1}\nmid a_n$．
（1）当$a_1=11$时，$a_{100}=$____；
（2）若存在$m\in\mathcal{N}^*$，当$n>m$且$a_n$为奇数时，$a_n$恒为常数$p$，则$p$的值为_____．
已知正方形\(ABCD\)和等腰\(\mathrm{Rt}\triangle BEF\)，\(BE=EF,\angle BEF=90^\circ\)，按图1放置，使点\(F\)在\(BC\)上，取\(DF\)的中点\(G\)，连接\(EG,CG\)．现将图1中\(\triangle BEF\)绕\(B\)点转动任意角，如图2所示．探究\(EG,CG\)的数量关系和位置关系并证明．
已知$\mathcal{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f'(x)>-2$，则不等式$$f(x-1)<x^2\left(3-2\ln x \right) +3(1-2x)$$的解集是_______．
某次测试成绩满分为$150$分，设$n$名学生的得分分别为$a_1,a_2,\cdots,a_n$（$a_i\in\mathcal{N}$，$1\leqslant i\leqslant n$），$b_k$（$1\leqslant k\leqslant 150$）为$n$名学生中得分至少为$k$分的人数．设$M$为$n$名学生的平均成绩，记$N=\dfrac {b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{n}$，则$M$与$N$的大小关系为__________．
本文作者我爱数学，由meiyun编辑修改．
近读《数海拾贝》上的一篇文章《还是熟悉的配方，还是原来的味道》，受益匪浅，但又觉得意犹未尽，作了如下思考．原文的例题1如下：
已知点\(P(x,y)\)为曲线\(xy-\dfrac{5}{2}x-2y+3=0\)上一点，求\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\)的最小值．
在平面直角坐标系中，如果\(x\)和\(y\)都是整数，就称点 \((x,y)\) 是整点，下列命题中正确的是_____(写出所有正确命题的编号)．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果 \(k\) 与 \(b\) 都是无理数，则直线 \(y=kx+b\) 不经过任何整点；
③直线 \(l\) 经过无穷多个整点，当且仅当 \(l\) 经过两个不同的整点；
④直线 \(y=kx+b\) 经过无穷多个整点的充分必要条件是：\(k\) 与 \(b\) 都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．
如图，在菱形\(ABCD\)中，\(\angle B=60^\circ\)，\(AB=4\)，点\(E\)在\(BC\)上，\(BE=3CE\)，点\(F\)在\(DE\)上，\(\angle AFC=120^\circ\)，\(EF>EC\)，则\(DF=\)_____．
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若数列$\{a_n\}$满足：对任意的$n\in\mathcal{N}^*$，只有有限个正整数$m$使得$a_m<n$成立，记这样的$m$的个数为$(a_n)^*$，则得到一个新数列$\left\{(a_n)^*\right \}$．例如，若数列$\{a_n\}$是$1,2,3,\cdots,n,\cdots$，则数列的$\{(a_n)^*\}$是$0,1,2,\cdots,n-1,\cdots$．已知对任意的$n\in\mathcal{N}^*$，$a_n=n^2$，则$(a_5)^*=$_____，$\big((a_n)^*\big)^*=$_____．
