每日一题[483]函数的叠加

已知函数$f(x)=x^2\ln x+a(x^2-x)$($a>0$),方程$f(x)=m$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$,求证:$x_1+x_2>1$.


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分析    函数$f(x)$由两个部分组成,其中函数$y=a(x^2-x)$的对称轴为$x=\dfrac 12$,而函数$y=x^2\ln x$,由于其导函数$$y'=x(1+2\ln x),$$于是其极值点为$x=\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}$在$\dfrac 12$的右侧.因此合起来的函数$f(x)$的极值点应该会右移,可以从这个角度入手.

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   函数$f(x)$的导函数$$f'(x)=2x\ln x+(2a+1)x-a,$$其二阶导函数$$f''(x)=2\ln x+2a+3.$$注意到$f''(x)$单调递增有唯一零点,因此$f'(x)$先递减后递增.又考虑到$$\lim\limits_{x\to 0} f'(x)=-a<0,f'(1)=a+1>0,$$因此函数$f'(x)$有唯一零点$x_0\in (0,1)$,且在$(0,x_0)$上有$f'(x)<0$,在$(x_0,+\infty)$上有$f'(x)>0$.进而$f(x)$先递减后递增,注意到$$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0,f(1)=0,$$因此函数图象如图.由于$$f'\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 12+\ln\dfrac 12<0,$$于是$f(x)$在$\left(0,\dfrac 12\right]$上单调递减,不妨设$x_1<x_2$,则有$0<x_1<x_2<1$且$x_2>\dfrac 12$.

第一种情况,$\dfrac 12\leqslant x_1<x_2<1$,此时命题显然成立;

第二种情况,$0<x_1<\dfrac 12< x_2<1$.对称化构造函数,接下来证明辅助命题$$\forall x\in\left(\dfrac 12,1\right),f(x)< f(1-x),$$即$$\forall  x\in\left(\dfrac 12,1\right),x^2\ln x-(1-x)^2\ln (1-x)<0.$$设$g(x)=x^2\ln x-(1-x)^2\ln (1-x)$,则其导函数$$g'(x)=1+2x\ln x+2(1-x)\ln (1-x),$$其二阶导函数$$g''(x)=2\ln x-2\ln(1-x)\geqslant 0,$$于是$g'(x)$单调递增,考虑到$$g'\left(\dfrac 12\right)<0,\lim\limits_{x\to 1}g'(x)=1,$$于是$g(x)$在$\left(\dfrac 12,1\right)$上先单调递减,再单调递增,又$$g\left(\dfrac 12\right)=0,\lim\limits_{x\to 1}g(x)=0,$$因此$g(x)$在$\left(\dfrac 12,1\right)$上有$g(x)< 0$,也即辅助命题得证.

应用辅助命题,有$$f(x_1)=f(x_2)< f(1-x_2),$$而$x_1,1-x_2\in\left(0,\dfrac 12\right)$,而$f(x)$在$\left(0,\dfrac 12\right)$上单调递减,从而$$x_1> 1-x_2,$$即$$x_1+x_2> 1.$$

综上所述,原命题得证.

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每日一题[483]函数的叠加》有 1 条评论

  1. OriBeta说:

    老师,5月17日的每日一题呢?Σ( ° △ °)

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