每日一题[485] π 的估算

设$n$为偶数,且$n\geqslant 6$.记$S_n$为单位圆的内接正$n$边形的面积.

(1)证明:$\dfrac 43S_{2n}-\dfrac 13S_n<\pi<\dfrac 83S_{2n}-2S_n+\dfrac 13S_{\frac n2}$;

(2)已知$1.732<\sqrt 3<1.733$,$3.105<S_{24}<3.106$,证明:$3.14<\pi<3.15$.


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   (1)容易计算得$$S_n=\dfrac n2\sin\dfrac{2\pi}n,$$于是欲证明不等式即$$\dfrac 43n\sin\dfrac{\pi}n-\dfrac 16n\sin\dfrac{2{\pi}}{n}<\pi<\dfrac 83n\sin\dfrac{\pi}n-n\sin\dfrac{2\pi}n+\dfrac 1{12}n\sin\dfrac{4\pi}n,$$也即$$\dfrac 43\sin\dfrac{\pi}n-\dfrac 16\sin\dfrac{2\pi}n<\dfrac{\pi}n<\dfrac 83\sin\dfrac{\pi}n-\sin\dfrac{2\pi}n+\dfrac{1}{12}\sin\dfrac{4\pi}n.$$记$x=\dfrac{\pi}n$,只需要证明当$x\in\left(0,\dfrac{\pi}6\right)$时,有$$\dfrac 43\sin x-\dfrac 16\sin 2x<x<\dfrac 83\sin x-\sin 2x+\dfrac{1}{12}\sin 4x.$$左侧不等式即$$3x-4\sin x+\dfrac 12\sin{2x}>0,$$要此不等式成立只需要$$3+(2\cos^2x-1)-4\cos x>0,$$也即$$2(\cos x-1)^2>0,$$当$x\in\left(0,\dfrac{\pi}6\right)$时,显然成立;

接下来证明右侧不等式.右侧不等式即$$8\sin x-3\sin{2x}+\dfrac 14\sin{4x}>3x,$$记函数$$f(x)=8\cos x-6\cos 2x+\cos 4x,$$则其导函数$$f'(x)=8\sin x(1-\cos x)(4\cos^2x+4\cos x-1),$$于是$f(x)$在$\left(0,\dfrac{\pi}6\right)$上单调递增,有$$f(x)>f(0)=3,$$于是右侧不等式成立.

综上,原命题得证.

(2)在第(1)小题中,取$n=12$即得.

  这种估算$\pi$的精度相当于用$x=\dfrac{\pi}{30}$时,$\sin x\approx x$估算$\pi$的精度.

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每日一题[485] π 的估算》有1条回应

  1. criminal说:

    做完2020北京卷的前来考古

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