各项均为正数的数列$\{a_n\}$对满足$m+n=p+q$的正整数$m,n,p,q$都有$$\dfrac{a_m+a_n}{(1+a_m)(1+a_n)}=\dfrac{a_p+a_q}{(1+a_p)(1+a_q)}.$$
（1）当$a_1=\dfrac 12$，$a_2=\dfrac 45$时，求通项$a_n$；
（2）证明：对任意$a_1$，存在与$a_1$有关的常数$\lambda (a_1)$，使得对任意$n\in\mathcal N^*$，$n\geqslant 3$，都有$\dfrac{1}{\lambda (a_1)}\leqslant a_n\leqslant \lambda (a_1)$．
如图，正方形$ABCD$中，$E$为$AB$的中点，$P$为以$A$为圆心的弧$BD$上一点(包含端点)，且$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{DE}+\mu\overrightarrow{AP}$，求$\lambda+\mu$的取值范围．
设$a,b,c$是不全为$0$的实数，求$\dfrac{ab+bc+c^2}{a^2+2b^2+3c^2}$的最大值和最小值．
设函数$f(x)=x^2-2ax+3-2a$的两个零点分别为$x_1,x_2$，且在区间$(x_1,x_2)$上恰好有两个正整数，求实数$a$的取值范围．
1、已知函数$g(x)$的图象与函数$f(x)=|\ln (x+a)|-1$的图象关于原点对称，且$y=f(x)$的图象与$y=g(x)$的图象恰有三个不同的公共点，则实数$a$的值为_______．
选择题共20小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分．
1、直线$y=-x+2$与曲线$y=-\mathrm{e}^{x+a}$相切，则$a$的值为（ ）
A．$-3$
B．$-2$
C．$-1$
D．前三个答案都不对
已知$g(x)=|x^2-ax-a|$，若对任意实数$a$，存在$x_0\in [0,1]$，使$g(x_0)\geqslant k$成立，求$k$的取值范围．
有人将计数问题“总结”成：若干个球放入若干个盒子问题，其中球可以是相同的（彼此之间不作区分），也可以是不同的；盒子可以是相同的，也可以是不同的；另外，每个盒子中球的数目可以没有限制，也可以有要求．于是就出来$8$种不同的计数问题模型，比如将四本不同的书送给三个人，要求每人至少一本．有多少种不同的分法？就是对应球不同，盒不同，盒中球数有要求的．今天我们想讲的是针对：球相同，盒不同的问题，从每盒至少一球开始，再延伸到球数的各种其它限制上，由此来讲讲隔板法与对应法． 继续阅读
已知$f(x)=ax^2+|x-a|+b$，若对于任意$b\in [0,1]$和任意$x\in [-3,3]$均有$|f(x)|\leqslant 2$恒成立，求$a$的取值范围．
