一道函数不等式

已知$x,y\in (0,1)$，求证：$x^y+y^x>1$．

证明一

考虑到$$\left(x^x\right)'=x^x(1+\ln x),$$于是$x^x$的取值范围是$\left(\left(\dfrac 1{\rm e}\right)^{\frac{1}{\rm e}},1\right)$，记为$(m,1)$．

不妨设$0<y\leqslant x<1$，则$t=\dfrac yx \in (0,1]$，此时\[\begin{split} LHS&={x^x}^{\frac yx}+\left(\dfrac yx\cdot x\right)^x \\ &={x^x}^t+t^x\cdot x^x \\ &>{x^x}^t+t\cdot x^x,\end{split} \]

记$x^x=a$，函数$$f(t)=a^t+at,$$其导函数$$f'(t)=a^t\cdot \ln a+a,$$显然$f'(t)$在$[0,1]$上单调递增，于是$$f'(t)>f''(0)=\ln a+a>\ln m+m>0,$$因此$f(t)$在$[0,1]$上单调递增，有$$f(t)>f(0)=1,$$原不等式得证．

证明二（来自严文兰）

由于$\dfrac yx>0$，$\dfrac 1x,\dfrac 1y>1$，于是由贝努利不等式$$\left(1+\dfrac yx\right)^{\frac 1y}>1+\dfrac yx\cdot \dfrac 1y=1+\dfrac 1x>\dfrac 1x,$$于是$$x^y>\dfrac{x}{x+y},$$同理，有$$y^x>\dfrac{y}{x+y},$$因此可得$$x^y+y^x>1,$$原不等式得证．