每日一题[416]运动中的不变量

这是我在QQ群高中数学试题研究中看到的题目:

已知$A(0,1)$,$B(1,0)$,$C(t,0)$,点$D$是直线$AC$上的动点,若$AD\leqslant 2 BD$恒成立,则最小正整数$t$的值为_______.

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正确答案是$4$.

分析    注意到当$C$确定后,$\angle DAB$在$D$运动的时候是不变的,因此可以考虑利用正弦定理来表达条件$AD\leqslant 2BD$.

   如图,在$\triangle ABD$中,由正弦定理得$$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{\sin \angle ABD}{\sin \angle BAD}\leqslant 2,$$而$\angle ABD$的取值范围是$(0,\pi)$,于是$\dfrac{\sin \angle ABD}{\sin \angle BAD}$的最大值为$\dfrac{1}{\sin \angle BAD}$,问题转化为$$\sin\angle BAD\geqslant \dfrac 12,$$也即$\angle BAD\geqslant \dfrac{\pi}6$,于是$$t=OC\geqslant \tan\left(\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}6\right)=2+\sqrt 3,$$因此$t$的最小正整数取值为$4$.(因为$t$为正整数,所以只需要考虑$C$点在$B$点右边这种情形.)

 本题也可以先探索满足条件$AD\leqslant 2 BD$的$D$所在的范围为一个阿波罗尼斯圆及其外部:$$\left(x-\dfrac 43\right )^2+\left(y+\dfrac 13\right )^2\geqslant \dfrac 89,$$利用该圆心到直线$AC$的距离不小于半径,得到直线$AC$的斜率范围,从而求得$t$的范围为$$t\geqslant 2+\sqrt 3\lor t\leqslant 2-\sqrt 3.$$但这个解法比原题的解法复杂很多.

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