这是我在QQ群高中数学试题研究中看到的题目：
已知$A(0,1)$，$B(1,0)$，$C(t,0)$，点$D$是直线$AC$上的动点，若$AD\leqslant 2 BD$恒成立，则最小正整数$t$的值为_______．
正确答案是$4$．
分析 注意到当$C$确定后，$\angle DAB$在$D$运动的时候是不变的，因此可以考虑利用正弦定理来表达条件$AD\leqslant 2BD$．
解 如图，在$\triangle ABD$中，由正弦定理得$$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{\sin \angle ABD}{\sin \angle BAD}\leqslant 2,$$而$\angle ABD$的取值范围是$(0,\pi)$，于是$\dfrac{\sin \angle ABD}{\sin \angle BAD}$的最大值为$\dfrac{1}{\sin \angle BAD}$，问题转化为$$\sin\angle BAD\geqslant \dfrac 12,$$也即$\angle BAD\geqslant \dfrac{\pi}6$，于是$$t=OC\geqslant \tan\left(\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}6\right)=2+\sqrt 3,$$因此$t$的最小正整数取值为$4$．（因为$t$为正整数，所以只需要考虑$C$点在$B$点右边这种情形．）
注 本题也可以先探索满足条件$AD\leqslant 2 BD$的$D$所在的范围为一个阿波罗尼斯圆及其外部：$$\left(x-\dfrac 43\right )^2+\left(y+\dfrac 13\right )^2\geqslant \dfrac 89,$$利用该圆心到直线$AC$的距离不小于半径，得到直线$AC$的斜率范围，从而求得$t$的范围为$$t\geqslant 2+\sqrt 3\lor t\leqslant 2-\sqrt 3.$$但这个解法比原题的解法复杂很多．