每日一题[419]瘦死的骆驼没马大

2013年高考辽宁卷文科数学第12题(选择压轴题)、理科数学第11题:

已知函数\(f(x)=x^2-2(a+2)x+a^2\),\(g(x)=-x^2+2(a-2)x-a^2+8\),设\(H_1(x)=\max\left\{f(x),g(x)\right\}\),\(H_2(x)=\min\left\{f(x),g(x)\right\}\).记\(H_1(x)\)的最小值为\(A\),\(H_2(x)\)的最大值为\(B\),则\(A-B=\)(        )

A.\(a^2-2a-16\)

B.\(a^2+2a-16\)

C.\(-16\)

D.\(16\)


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正确答案是 C.

    要考虑$f(x),g(x)$的大小,作差$$f(x)-g(x)=2(x^2-2ax+a^2-4),$$记$h(x)=x^2-2ax+a^2-4$,则$h(x)$一定有两个零点$$x_1=a-2,x_2=a+2,$$对应的点$M(x_1,f(x_1)),N(x_2,f(x_2))$为$f(x),g(x)$的交点,且$M$点恰为$g(x)$的顶点,$N$点恰为$f(x)$的顶点,示意图如下:

屏幕快照 2016-02-24 下午4.41.07

结合示意图知$$A=N_y=f(x_2),B=M_y=f(x_1).$$于是$$\begin{split} A-B&=f(x_2)-f(x_1)\\&=(x_2-x_1)[x_2+x_1-2(a+2)]\\&=-16.\end{split}$$本题中由两个函数比较大小定义出的函数是常见的一种新定义函数,研究这个函数只需要研究两个函数的交点对应的函数值,以及原来的两个函数的极值点即可,通常结合图象会对新定义函数的整体有更好的认识.

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