每日一题[420]求和估计

已知\(S=\dfrac{\pi}{20000}\cdot\left(\sin\dfrac{\pi}{20000}+\sin\dfrac{2\pi}{20000}+\sin\dfrac{3\pi}{20000}+\cdots+\sin\dfrac{10000\pi}{20000}\right)\),推测下列各值中与\(S\)最接近的是(        )

A.\(0.9988\)

B.\(0.9999\)

C.\(1.0001\)

D.\(2.0002\)


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正确答案是C.

解 观察$S$的形式,我们将区间$\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right ]$进行$10000$等分,以得到的横坐标对应的$f(x)$图象上的点记为$$A_k,k=0,1,2,\cdots,10000,$$即$A_k\left(\dfrac {k\pi}{20000},\sin\dfrac {k\pi}{20000}\right )$,过这些点作$x$轴的平行线,得到如下图的小矩形(示意图,$8$等分了区间):

屏幕快照 2016-02-25 上午11.50.33

于是$S$为这些小矩形的面积之和,所以$$S>\int_{0}^{\frac {\pi}{2}}\sin x\mathrm{d}x=1.$$其次,我们来估计多出的面积有多少,这需要用到正弦函数图象特点(即凹凸性),依次连接$A_kA_{k+1}$,得到很多小的直角三角形,多出来的面积比这些小直角三角形的面积之和小,如下图:

屏幕快照 2016-02-25 上午11.50.43

这些小的直角三角形有一条相等的边,故面积之和为$$\dfrac 12\times \dfrac {\pi}{20000}\times 1<10^{-4}.$$综上$1<S<1.0001$,C正确.

利用积分可能处理很多级数不等式相关的问题,见证明级数不等式的积分放缩法

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