每日一题[421]空间向量的分解

这是我在QQ群(我也记不得是哪个了)里看到的问题:

如图,在三棱锥$P-ABC$中,$AB=AC=PB=PC=10$,$PA=8$,$BC=12$,点$M$在平面$PBC$内,且$AM=7$,设异面直线$AM$与$BC$所成角为$\alpha$,则$\cos\alpha$的最大值为_______.

latex-image-11


cover

正确答案是$\dfrac 17$.

分析    首先确定$M$点可能的位置.由于$AM$是定长线段,因此$M$的轨迹是平面$PBC$上的圆,圆心为$A$在平面$PBC$上的投影,如图.

latex-image-9

接下来可以利用空间向量求$\cos\alpha$的最大值,利用$M$点的轨迹的形成方式对向量$\overrightarrow{AM}$进行适当的分解是解决问题的关键.

   利用图形的对称性,取$BC$的中点$N$,连接$PN,AN$.不难计算得$$AN=PN=8,$$于是三角形$PAN$为正三角形,记$H$为点$A$在平面$PBC$上的投影,则$AH=4\sqrt 3$.因此点$M$的轨迹是半径为$$\sqrt{AM^2-AH^2}=1$$的圆,这样就有$$\cos\alpha=\left|\dfrac{\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}}{AM\cdot BC}\right|=\left|\dfrac{\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{HM}\cdot \overrightarrow{BC}}{AM\cdot BC}\right|,$$注意到$AH\perp BC$,于是$$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0,$$而$\overrightarrow{HM}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角取值范围是$[0,\pi]$,因此$\cos\alpha$的最大值为$$\dfrac{HM\cdot BC}{AM\cdot BC}=\dfrac 17.$$


 从立体几何角度来看,因为$AM$是母线长为$7$,底面半径为$1$的圆锥上的任意一条母线,$BC$可以平移到底面上,成为一条弦,要找到一条母线,使得该母线与弦的夹角的最小值.

屏幕快照 2016-02-25 上午9.20.36

因为任意一条弦与两条母线构成腰为$7$的等腰三角形,故顶角最大时,底角最小,即将$BC$平移到直径位置时,对应的底角有最小值.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论