每日一题[422]预则立

这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题:

设$S_n$是各项均为非零实数的等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和,若对于给定的正整数$n$($n>1$)和正数$M$,数列$\{a_n\}$满足$a_1^2+a_{n+1}^2=M$,则$S_n$的最大值为_______.


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正确答案是$\sqrt{\dfrac{(n^2+1)M}{2}}$.

分析    由于$$S_n=\dfrac n2\left(a_1+a_n\right),$$于是联想到柯西不等式.因此需要用$a_1,a_{n+1}$表示$a_1+a_n$.

   设$a_1+a_n=\alpha a_1+\beta a_{n+1}$,则$$2a_1+(n-1)d=(\alpha +\beta)a_1+\left(\beta n\right)d,$$因此解得$$\begin{cases} \alpha=\dfrac{n+1}n,\\ \beta=\dfrac{n-1}n,\end{cases} $$因此\[\begin{split} S_n&=\dfrac{n(a_1+a_n)}2 \\ &=\dfrac{(n+1)a_1+(n-1)a_{n+1}}2 \\ &\leqslant \dfrac{\sqrt{(n+1)^2+(n-1)^2}\cdot\sqrt{a_1^2+a_{n+1}^2}}2 \\ &= \sqrt{\dfrac{(n^2+1)M}{2}},\end{split} \]所以$S_n$的最大值为$\sqrt{\dfrac{(n^2+1)M}{2}}$.

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每日一题[422]预则立》有一条回应

  1. mrblack说:

    这也太秀了,谢谢解答

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