已知函数$f(x)=a\ln x-\dfrac 12x^2+bx$存在极小值，且对于$b$的所有可能取值，$f(x)$的极小值恒大于$0$，则$a$的最小值为_______．
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一道三角不等式的证明
求证：$\sin x+\dfrac 12\sin 2x+\dfrac 13\sin 3x+\cdots +\dfrac{1}{n}\sin nx>0$，其中$n\in\mathbb N^*$，$x\in (0,\pi)$．
每日一题[652]体积转化
如图，正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$2$，动点$E,F$在棱$A_1B_1$上，动点$P,Q$分别在棱$AD,CD$上，若$EF=1$，$A_1E=x$，$DQ=y$，$DP=z$，且$x,y,z>0$，则四面体$PEFQ$的体积（ ）
A．与$x,y,z$都有关
B．与$x$有关，与$y,z$无关
C．与$y$有关，与$x,z$无关
D．与$z$有关，与$x,y$无关
每日一题[651]先构造 再论证
(2012年北京八中高二期末考试)已知$f(x)=8x^3+ax^2+bx$，是否存在实数$a,b$，使得对任意$x\in [-1,1]$，均有$|f(x)|\leqslant 2$．若存在，求出$a,b$的值；若不存在，请说明理由．
每日一题[650]过关斩将
已知数列$\{a_n\}$满足$a_n\geqslant 1$，$a_1=1$，$a_2=1+\dfrac{\sqrt 2}2$，$\left(\dfrac{a_n}{a_{n+1}-1}\right)^2+\left(\dfrac{a_n-1}{a_{n-1}}\right)^2=2$，求证：$$\dfrac 23<\dfrac{a_n}n<\dfrac 23\left(1+\dfrac 1n\right).$$
每日一题[648]无底三棱柱
2013年北京市海淀区一模：
设$l_1,l_2,l_3$为空间中互相平行且两两间的距离分别为$4,5,6$的直线．给出下列三个结论：
(1) 存在$A_i\in l_i$($i=1,2,3$)，使得$\triangle A_1A_2A_3$是直角三角形；
(2) 存在$A_i \in l_i$($i=1,2,3$)，使得$\triangle A_1A_2A_3$是等边三角形；
(3) 三条直线上存在四点$A_i$($i=1,2,3,4$)，使得四面体$A_1A_2A_3A_4$为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．
其中，所有正确结论的序号是_______．
每日一题[647]空间余弦定理
已知空间四边形$ABCD$中，$AB=2$，$BC=8$，$CD=10$，$AD=4$，则$\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {BD}=$_______．
通过二进制看清递推过程
已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=\left[\dfrac{a_n}2\right]$，且$a_1=34567$，则其前$n$项和的最大值为_______．
练习题集[72]基础练习
1．已知函数$f(x)={\log_4}x-\left(\dfrac 14\right)^x$和函数$g(x)={\log_{\frac 14}}x-\left(\dfrac 14\right)^x$的零点分别为$x_1,x_2$，则（ ）
A．$0<x_1x_2<1$
B．$x_1x_2=1$
C．$1<x_1x_2<2$
D．$x_1x_2\geqslant 2$