设$n$为偶数，且$n\geqslant 6$．记$S_n$为单位圆的内接正$n$边形的面积．
（1）证明：$\dfrac 43S_{2n}-\dfrac 13S_n<\pi<\dfrac 83S_{2n}-2S_n+\dfrac 13S_{\frac n2}$；
（2）已知$1.732<\sqrt 3<1.733$，$3.105<S_{24}<3.106$，证明：$3.14<\pi<3.15$．
如图，$AB$是圆$O$的直径，$SA$与圆$O$所在的平面垂直且$SA=AB=2$．$C$为圆$O$上不同于$A,B$的点，$M,N$分别为$A$在线段$SB,SC$上的投影．当三棱锥$S-AMN$的体积最大时，$SC$与平面$ABC$所成角的正弦值是_______．
自然对数$\ln x$在高一时很不“自然”，但到高二学习导数时就完全不同了，因为$$(\ln x)'=\dfrac 1x.$$自然对数是导数相关的问题中常见的函数组成部分，处理$\ln x$有三板斧——清君侧（让$\ln x$静静）、偷天换日（利用对数的运算性质换元）与毁尸灭迹（将$\ln x$放缩成其它函数，彻底消灭它），这三招处理$\ln x$非常有效．
设函数\(f(x)\)为可导函数，则有\[\left(f(x)\cdot \ln x\right)'=f'(x)\ln x+f(x)\cdot \dfrac{1}{x}.\]这就意味着如果\(f(x)\)不为常函数，那么求导所得的式子中含有\(\ln x\)，这样往往使问题需要多次求导才能解决，处理这类函数的一个有效方法就是将\(\ln x\)前面的部分提出，然后研究剩余部分对应的函数，这种技巧形象的解释就是“清君侧”． 继续阅读
已知函数$f(x)=x^2\ln x+a(x^2-x)$($a>0$)，方程$f(x)=m$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2>1$．
下面这道题目是2013年高考天津卷理科数学第7题：
函数$f(x)=2^x\left|{\log_{0.5}}x\right|-1$的零点个数为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
1、已知$0<x<y$，$2<x^2+y<\dfrac 52$，则下列选项中不正确的是（ ）
A．$\sin x^2<\sin \left(\dfrac 52-y\right)$
B．$\sin x^2>\sin (2-y)$
C．$\sin (2-x^2)<\sin y$
D．$\sin x^2<\cos (y-1)$
均值不等式的应用需要一正二定三相等，其中等号取到的条件对于求最值有着很重要的意义．这里我们从另外一个角度去看看，如何有效地利用取等条件作为工具，给一些不等式的证明提供系数配凑的思路，从而达到证明不等式的目的．
例题一 已知正实数$a,b,c$满足$a+b+c=3$，求证：$\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\leqslant 6$． 继续阅读
已知点$A(m,0)$和双曲线$x^2-y^2=1$右支上的两个动点$B,C$，在动点$B,C$运动的过程中，若存在三个等边三角形$ABC$，则实数$m$的取值范围是_______． 继续阅读
