利用取等条件配凑系数

均值不等式的应用需要一正二定三相等,其中等号取到的条件对于求最值有着很重要的意义.这里我们从另外一个角度去看看,如何有效地利用取等条件作为工具,给一些不等式的证明提供系数配凑的思路,从而达到证明不等式的目的.

例题一 已知正实数$a,b,c$满足$a+b+c=3$,求证:$\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\leqslant 6$.

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分析与证明 容易看出当$a=b=c=1$时,所证不等式恰好取到等号.

于是我们考虑给根式$\sqrt{a+3}$配上一个恰当的系数$m$,使得取等条件恰为$a=1$.因为$$m\sqrt{a+3}\leqslant \dfrac {m^2+a+3}{2},$$当$m=\sqrt {a+3}$时取到等号,故$m$取$2$即可,于是我们得到$$2\sqrt{a+3}\leqslant \dfrac {4+a+3}{2},$$同理有$$\begin{split} 2\sqrt{b+3}\leqslant &\dfrac {4+b+3}{2},\\2\sqrt{c+3}\leqslant &\dfrac {4+c+3}{2},\end{split} $$三式相加得$$2LHS\leqslant \dfrac {a+b+c+21}{2}=12,$$当且仅当$a=b=c=1$时取到等号,于是不等式得证.

 本题用柯西不等式也很容易解决.


例题二 已知正实数$a,b$满足$a+b=1$,求证:$\sqrt{a+\dfrac 1a}+\sqrt{b+\dfrac 1b}\geqslant \sqrt{10}$.

分析与证明 容易看出当$a=b=\dfrac 12$时,所证不等式恰好取到等号.

于是我们考虑给将根式中的一项进行拆分,再利用均值不等式,使得取等条件恰好满足,有$$\begin{split} \sqrt{a+\dfrac 1a}=&\sqrt {a+\dfrac 1{4a}+\dfrac 1{4a}+\dfrac 1{4a}+\dfrac 1{4a}}\\\geqslant &\sqrt{5\cdot\sqrt[5]{\dfrac 1{256a^3}}}\\=&5^{\frac 12}\cdot 2^{-\frac 45}\cdot a^{-\frac{3}{10}}.\end{split} $$当且仅当$a=\dfrac 1{4a}$,即$a=\dfrac 12$时取到等号.

对第二个根式采取同样的操作,于是有$$\begin{split} LHS\geqslant &5^{\frac 12}\cdot 2^{-\frac 45}\cdot\left(a^{-\frac 3{10}}+b^{-\frac 3{10}}\right )\\\geqslant &5^{\frac 12}\cdot 2^{-\frac 45}\cdot 2(ab)^{-\frac{3}{20}}\\\geqslant&5^{\frac 12}\cdot 2^{\frac 15}\cdot\left(\dfrac {a+b}{2}\right )^{-\frac{3}{10}}\\=&\sqrt {10}.\end{split} $$当且仅当$a=b=\dfrac 12$时取到等号,于是不等式得证.


下面给出一道练习:

已知$a,b,c>0$,$a+b+c=1$,求证:$\sqrt{a+5}+\sqrt{b+5}+\sqrt{c+5}\leqslant 4\sqrt 3$.

提示 给每个根式乘上系数$\sqrt{\dfrac {16}{3}}$.

更多相关问题见每日一题[210]代数不等式的证明,题目如下:

已知正实数\(a,b\)满足\(a+b=1\),求证:\(\sqrt{a^2+\dfrac 1a}+\sqrt{b^2+\dfrac 1b}\geqslant 3\).

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利用取等条件配凑系数》有 1 条评论

  1. chty_syq chty_syq说:

    例二中应该是(ab)^{-\frac{3}{20}}<=(\frac{a+b}{2})^{-\frac{3}{10}}
    这样就证不下去了呀

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