数形结合需谨慎

下面这道题目是2013年高考天津卷理科数学第7题:

函数$f(x)=2^x\left|{\log_{0.5}}x\right|-1$的零点个数为(        )

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$


错解    函数$f(x)$的零点可以看成是函数$y=\left|{\log_{0.5}}x\right|$和函数$y=0.5^x$的图象的公共点的横坐标,如图.

QQ20160515-0

根据图象,可得所求函数的零点个数为$2$,选B.

分析    根据函数的图象,可以确定当$x\geqslant 1$时,两个函数必然有且只有一个公共点;但是在区间$(0,1)$上,我们并没有足够的证明说明两个函数只有一个公共点(有公共点是必然的,因为两个函数在$x\to 0$和$x\to 1$时相对位置发生了颠倒.

改正    当$0<x<1$时,考虑函数$g(x)=2^x\ln x+\ln 2$,其导函数$$g'(x)=\dfrac{2^x}{x}\cdot (1+x\ln x\cdot \ln 2),$$而$$1+x\ln x\cdot \ln 2>1-\dfrac{\ln 2}{\rm e}>0,$$于是$g(x)$单调递增,而当$x\to 0$时,$g(x)\to -\infty$;$g(1)=\ln 2>0$,因此函数$g(x)$在区间$(0,1)$上有唯一零点.

探究一   是不是当$0<a<1$时,函数$y={\log_a}x$和函数$y=a^x$在区间$(0,1)$上一定有唯一公共点呢?

答案是否定的,利用Mathematica,我们可以知道,当$a=0.05$时,这两个函数在区间$(0,1)$上有三个公共点,如图.

QQ20160515-2

那么,这两个函数在区间$(0,1)$上的公共点个数是否还有其他可能?影响公共点个数的参数$a$的分界点又是多少呢?

探究二    设$m=\dfrac 1a$,考虑函数$h(x)=m^x\ln x+\ln m$,则其导函数$$h'(x)=\dfrac{m^x}{x}\cdot (1+x\ln x\cdot \ln m),$$于是当$\ln m\leqslant {\rm e}$,即$a\geqslant {\rm e}^{-\rm e}$时,$h'(x)\geqslant 0$,于是$h(x)$单调递增,所求的公共点个数为$1$.

当$\ln m>{\rm e}$,即$0<a<{\rm e}^{-{\rm e}}$时,函数$h'(x)$在$(0,1)$上有两个零点,设为$x_1,x_2$,且$0<x_1<\dfrac{1}{\rm e}<x_2<1$,则函数$h(x)$在$(0,x_1)$上单调递增,在$(x_1,x_2)$上单调递减,在$(x_2,1)$上单调递增.

考虑到$x_1,x_2$是关于$x$的方程$$x\ln x\cdot \ln m+1=0$$的两个解,所以$$\ln m=-\dfrac{1}{x_1\ln x_1}=-\dfrac {1}{x_2\ln x_2},$$于是极值$$h(t)={\rm e}^{-\frac{1}{\ln t}}\cdot \ln t-\dfrac{1}{t\ln t},$$其中$t=x_1$或$t=x_2$.令$-\dfrac{1}{\ln t}=x$知考虑函数$$\varphi (x)={\rm e}^{\frac 1x}\cdot x-{\rm e}^x\cdot \dfrac 1x.$$即可.利用极值点偏移,我们很容易证明当$x<1$时,$\varphi(x)>0$;当$x>1$时,$\varphi(x)<0$;因此可得函数$h(x)$的极大值$h(x_1)>0$,极小值$h(x_2)<0$,因此函数$h(x)$在区间$(0,x_1)$,$(x_1,x_2)$,$(x_2,1)$上各有一个零点,所求的公共点个数为$3$.

总结    若将题目改成

函数$f(x)=\dfrac{1}{a^x}\left|{\log_a}x\right|-1$($0<a<1$)的零点个数为_______.

则答案应该是$\begin{cases} 2,a\geqslant {\rm e}^{-{\rm e}},\\4,0<a<{\rm e}^{-{\rm e}}.\end{cases} $

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数形结合需谨慎》有 3 条评论

  1. 玄一说:

    最后怎么用极值点偏移的?

  2. 玄一说:

    探究二中的h(x)怎么弄到的?

  3. OriBeta说:

    这个好像以前发过
    [url=http://lanqi.org/solution/4581/]迭代函数与二阶不动点[/url]

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