每日一题[482]逐步调整

已知点$A(m,0)$和双曲线$x^2-y^2=1$右支上的两个动点$B,C$,在动点$B,C$运动的过程中,若存在三个等边三角形$ABC$,则实数$m$的取值范围是_______.


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分析与解    考虑以点$A$为圆心,$r$为半径的圆与双曲线交于$4$个点$M,N,P,Q$,且$M,N$位于$x$轴上方,$P,Q$位于$x$轴下方,点$M$与点$Q$的横坐标相同,点$N$与点$P$的横坐标相同,点$M$的横坐标大于点$N$的横坐标.线段$MN$的中点为$H$,双曲线的右顶点为$G$,如图.

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显然$\triangle MAQ$和$\triangle NAP$均可通过调整$r$变为$A$所对的边与$x$轴垂直的等边三角形,且调整成的等边三角形相同.考虑到图形的对称性,只需要研究$\triangle MAN$与$\triangle NAQ$是否能够通过调整变为等边三角形.

联立双曲线$x^2-y^2=1$与圆$(x-m)^2+y^2=r^2$,有$$r^2=2\left(x-\dfrac 12m\right)^2+\dfrac {m^2}2-1,$$因此点$H$的横坐标为定值$\dfrac m2$.设双曲线上横坐标为$\dfrac m2$的点为$E$,那么直线$MN$的极限位置即双曲线在点$E$处的切线.记$\angle EAG=\theta$,当$N$与$G$重合时,$\angle MAN=\varphi$.

当点$N$从$E$处运动到$G$处时,$\angle MAN$从$0$单调递增变化到$\varphi$;而$\angle NAQ$满足$$\angle NAQ=2\theta -\angle EAN+\angle EAM=2\theta-2\angle EAH,$$由于$H$点的纵坐标递减,因此$\angle EAH$单调递增,因此$\angle NAQ$从$2\theta$单调递减变化到$\varphi$.

由于$\angle MAN$与$\angle NAQ$的变化区间无公共部分,因此当$\angle MAN$和$\angle NAQ$变化的区间的并集$\left(0,2\theta\right)$中包含$\dfrac{\pi}3$时符合题意,也即问题等价于保证$\theta>\dfrac{\pi}6$,也即$E$处切线的斜率小于$\sqrt 3$.

由于$y=\sqrt{x^2-1}$的导数$$y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}},$$于是只需要$$\dfrac{\dfrac m2}{\sqrt{\left(\dfrac m2\right)^2-1}}<\sqrt 3,$$解得$$m>\sqrt 6.$$

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