1、过椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的准线$x=\dfrac{a^2}c$上的一点$P$作椭圆的割线，交点分别为$M,N$．设$M$在$y$轴右侧，$N$在$y$轴左侧，$F$为椭圆的右焦点，求证：$FP$是$\angle MFN$的外角平分线．
定义$\overline{abc}$是一个三位数，其中各数位上的数字$a,b,c\in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$且不全相同．定义如下运算$f$：把$\overline{abc}$的三个数字$a,b,c$自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补$0$），然后用“较大数”减去“较小数”．例如：$f(100)=100-001=099,f(102)=210-012=198$．如下定义一个三位数序列：第一次实施运算$f$的结果记为$\overline{a_1b_1c_1}$，对于$n>1$且$n\in \mathcal{N}$，$\overline{a_nb_nc_n}=f\left (\overline{a_{n-1}b_{n-1}c_{n-1}} \right )$．将$\overline{a_nb_nc_n}$的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为$d_n$．
（1）当$\overline{abc}=636$时，求$\overline{a_1b_1c_1}$，$\overline{a_2b_2c_2}$及$d_2$的值；
（2）若$d_1=6$，求证：当$n>1$时，$d_n=5$；
（3）求证：对任意三位数$\overline{abc}$，$n\geqslant 6$时，$\overline{a_nb_nc_n}=495$．
对数有非常好的运算性质，比如$$\ln x^{\alpha}=\alpha\cdot \ln x,x>0.$$借助于对数的一些运算性质，我们遇到与对数函数相关的复杂函数时，有时可以先通过换元对函数进行简化，本文就结合例题看看与$\ln x$相关的问题中换元法的强大． 继续阅读
已知函数$f(x)=\dfrac{x^2}2+ax+2\ln x$在$x=2$处取得极值．
（1）求实数$a$的值及函数$f(x)$的单调区间；
（2）方程$f(x)=m$有三个实根$x_1,x_2,x_3$($x_1<x_2<x_3$)，求证：$x_3-x_1<2$．
对于级数求和之后的放缩一直是高中数学的一个难点，对于可以求和的，求和之后再放缩比较容易，对于不能求和的式子，就需要先对求和的式子进行放缩，以使得它可以求和，放缩的方向主要有两个，一个是往等比数列方向进行放缩，另一个是往可以裂项求和的方向进行放缩．这里我们先来说说往等比数列方向进行放缩． 继续阅读
已知点$A$是抛物线$y=\dfrac 12x^2$上的一个动点，过$A$作圆$D:x^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2=r^2$($r>0$)的两条切线，它们分别切圆$D$于$E,F$两点．
（1）当$r=\dfrac 32$，$A$点坐标为$(2,2)$时，求两条切线的方程；
（2）若当$A$在抛物线上（总在圆$D$外部）运动时，直线$EF$都不通过的点构成一个区域，求这个区域的面积的取值范围．
1、设$S_n$是各项均为正数的等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和，$m,n$是任意的正整数．求证：$$\ln S_{2m}+\ln S_{2n}\leqslant 2\ln S_{m+n}.$$
若不等式$\left(\dfrac{1}{x-1}+a\right)\cdot \ln x > 1$对一切$x>0$且$x\neq 1$均成立，求实数$a$的值．
一、事件与概率
（1）从装有$2$个红球和$2$个黑球的口袋内任取$2$个球，那么是互斥事件的有_____，是对立事件的有_____．
①至少有$1$个黑球，都是黑球
②至少有$1$个黑球，至少有$1$个红球
③恰有$1$个黑球，恰有$2$个红球
④至少有$1$个黑球，都是红球
如图，由若干个小正方形组成的$k$层三角形图阵，第一层有$1$个小正方形，第二层有$2$个小正方形，依此类推，第$k$层有$k$个小正方形．除去最底下一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第$k$层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为$x_1,x_2,\cdots ,x_k$，其中$x_i\in\{0,1\}$($1\leqslant i\leqslant k$)，其它小正方形标注的数字是它下面的两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为$x_0$．
（1）当$k=4$时，若要求$x_0$为$2$的倍数，则有多少种不同的标注方法？
（2）当$k=11$时，若要求$x_0$为$3$的倍数，则有多少种不同的标注方法？
