每日一题[491]数字黑洞--Kaprekar常数

定义$\overline{abc}$是一个三位数,其中各数位上的数字$a,b,c\in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$且不全相同.定义如下运算$f$:把$\overline{abc}$的三个数字$a,b,c$自左到右分别由大到小排列和由小到大排列(若非零数字不足三位则在前面补$0$),然后用“较大数”减去“较小数”.例如:$f(100)=100-001=099,f(102)=210-012=198$.如下定义一个三位数序列:第一次实施运算$f$的结果记为$\overline{a_1b_1c_1}$,对于$n>1$且$n\in \mathcal{N}$,$\overline{a_nb_nc_n}=f\left (\overline{a_{n-1}b_{n-1}c_{n-1}} \right )$.将$\overline{a_nb_nc_n}$的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为$d_n$.

(1)当$\overline{abc}=636$时,求$\overline{a_1b_1c_1}$,$\overline{a_2b_2c_2}$及$d_2$的值;

(2)若$d_1=6$,求证:当$n>1$时,$d_n=5$;

(3)求证:对任意三位数$\overline{abc}$,$n\geqslant 6$时,$\overline{a_nb_nc_n}=495$.


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分析与解    (1)$\overline{a_1b_1c_1}=297$,$\overline{a_2b_2c_2}=693$,$d_2=6$.

(2)易知,$f\left (\overline{a_{n}b_{n}c_{n}} \right )=99d_n$.

下面我们用数学归纳法来证明“当$n>1$时,$d_n=5$”.

当$n=2$时,因为$d_1=6$,所以$$\overline{a_2b_2c_2}=f\left (\overline{a_{1}b_{1}c_{1}} \right )=594,$$故$d_2=5$.

所以$n=2$时,要证的命题成立.

假设$n=k>1$时要证的命题成立,即$d_k=5$.则$n=k+1$时,$$\overline{a_{k+1}b_{k+1}c_{k+1}}=f\left (\overline{a_{k}b_{k}c_{k}} \right )=99d_k=495,$$所以$d_{k+1}=5$.

故$n=k+1$时,要证的命题也成立.

综上所述,命题“当$n>1$时,$d_n=5$”成立.

(3)易知,$d\in \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$.

因为$$\overline{a_{1}b_{1}c_{1}}=f\left (\overline{abc} \right )=99d=\overline{d00}-\overline{00d},$$所以$a_1=d-1,b_1=9,c_1=10-d$,故$$d_1=\begin{cases}10-d,&d \leqslant 5,\\d-1,&d>5,\end{cases} $$因此$d_1 \in \{ 5,6,7,8,9 \}$.

若$d_1=5$,则$\overline{a_2b_2c_2}=\overline{a_3b_3c_3}=\cdots=495$;

若$d_1=6$,则$d_2=5$,故$\overline{a_3b_3c_3}=\overline{a_4b_4c_4}=\cdots=495$;

若$d_1=7$,则$d_2=6,d_3=5$,故$\overline{a_4b_4c_4}=\overline{a_5b_5c_5}=\cdots=495$;

若$d_1=8$,则$d_2=7,d_3=6,d_4=5$,故$\overline{a_5b_5c_5}=\overline{a_6b_6c_6}=\cdots=495$;

若$d_1=9$,则$d_2=8,d_3=7,d_4=6,d_5=5$,故$\overline{a_6b_6c_6}=\overline{a_7b_7c_7}=\cdots=495$.

综上所述,对任意三位数$\overline{abc}$,当$n\geqslant 6$时,均有$\overline{a_nb_nc_n}=495$.

   这个问题叫做“Kaprekar问题”,由印度数学家Kaprekar在1949年提出.我们还可以证明,对于各个数位上的数字不全相同的四位数来说,最多进行$7$次题中所描述的操作,即可得到常数$6174$.

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