计算$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{1008}\cos^{2016}\left(\dfrac{k\pi}{1008}\right)$．
已知正数数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$．
（1）若$a_n=\dfrac 12\left(S_n+\dfrac{1}{S_n}\right)$，求$\{a_n\}$的通项公式；
（2）若$a_{n+1}=\sqrt{1+S_n+S_n^2}$，求$\{a_n\}$的通项公式．
若函数$f(x)=x^2+\dfrac 2x-a\ln x$($a>0$)存在唯一零点$x_0$，且$m<x_0<n$，其中$m,n$为相邻的整数，则$m+n=$_______．
有时我们会遇到不含参数的指数（通常为${\rm e}^x$）和对数（通常为$\ln x$）混合的不等式．这种不等式由于其特殊结构导致求导后无法求出极值点而无法利用常规方法求出其极值．这类不等式的证明通常是先大致估计极值点，然后将包含指数的部分放缩为多项式，进而将问题转化为对数不等式，再利用导数证明．下面通过三道例题说明这一思路．
上次在《解题的四个阶段----也谈怎样学好数学》中，我们谈了谈如何培养解题能力．那么解题能力具体包含哪些要素呢？
在我看来一个人在具体解题时，其解题能力是以下四个要素综合构成的：
力量：耐心计算，分类讨论能力；
敏捷：快速试探，精准打击能力；
智力：知识储备，模块重组能力；
运气：自强不息，相信天道佑勤．
这四要素相辅相成，不可偏废．下面就一道具体的题目，解释何谓“力量”，“敏捷”和“智力”．
一、统计
（1）为了了解某地参加计算机水平测试的$2001$名学生的成绩，从中抽取了$100$名学生的成绩进行统计分析．运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为_____，每个学生被抽到的概率为_____；
（2）如果$a_k$是$(1+x)^5$中$x^k$的系数，当样本$2,7,a_k,4,3,6$的方差最小时，$k$的值为_____；
（3）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如下），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为$s_1,s_2,s_3$，则它们的大小关系为___________（用“$>$”号连接）．
已知两条直线$l_1,l_2$相交于点$O$，点$A$在直线$l_1$上运动，点$B$在直线$l_2$上运动，且线段$AB$的长为定值$2m$，求$AB$的中点$M$的轨迹．
已知正数数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}^2=\dfrac 13a_n^2+\dfrac 23a_n$，求证：$$a_1+a_2+\cdots+a_n>n-2.$$
