集合中新定义问题很多，解决起来并没有统一思路，但是有些手段比较普遍．新定义问题通常比较抽象与陌生，所以可以尝试借助一些简单的例子或情形去帮助我们熟悉定义，对不熟悉的东西有一定感觉后再去尝试作出推论或者寻找证明方向．另外，对于抽象的描述，可以尝试用自己的语言重新表述；对于抽象集合的运算，可以尝试借助图形语言（数轴、韦恩图）与现有的运算结合起来思考．这些都是一些常用的处理手段．比如： 继续阅读
1、在$\triangle ABC$中，$BC=2$，$AC=3$，$\overrightarrow {AD}=2\overrightarrow{DB}$，$CD=1$，则$\cos A=$_______．
已知$x\in (0,{\rm e})$，求证：$\dfrac{({\rm e}^2-{\rm e}^2\ln x+x)^2}{\ln ^2x+2\ln x+2}>\dfrac{{\rm e}^2}5$． 继续阅读
上周的方法技巧中的重要三角形由弦心距、半弦长与半径构成，这周我们来关注另一个重要直角三角形，即由切线长$PA$、圆外一点与圆心连线$PC$以及半径$r$构成的直角三角形，有$PC^2=PA^2+r^2$，如图： 继续阅读
关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x^2+y^3=29,\\ {\log_3}x\cdot {\log_2}y=1\end{cases} $的不同实数解的组数是______．
我们知道二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne 0)$的图象是一条抛物线，不管在初中还是高中，这都是我们最常见的一种函数．二次函数的解析式有三种形式：一般式$$y=ax^2+bx+c,$$两根式（其中$x_1,x_2$是对应一元二次方程的两根）$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$与顶点式（其中$(h,k)$是顶点坐标）$$y=a(x-h)^2+k.$$在使用待定系数法求二次函数的解析式时，要合理选择函数的形式． 继续阅读
已知函数$f(x)=\begin{cases} ax^2+x,&x\geqslant 0,\\ -ax^2+x,&x<0,\end{cases} $当$x\in\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$时恒有$f(x+a)<f(x)$，则实数$a$的取值范围是________．
已知直线$l:y=kx$与圆$C:x^2+(y-4)^2=4$相交于$M,N$两点．
(1) 求$k$的取值范围；
(2) 若点$Q$在线段$MN$上，且满足$\dfrac{2}{|OQ|^2}=\dfrac{1}{|OM|^2}+\dfrac{1}{|ON|^2}$，求点$Q$的轨迹方程．
已知$x_1,x_2,\cdots ,x_n>0$，求证：$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{2}{x_1+x_2}+\cdots +\dfrac{n}{x_1+x_2+\cdots +x_n}<4\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots +\dfrac{1}{x_n}\right).$$
已知函数$f(x)=3ax^2+2bx+(b-a)$，求证：$f(x)$在区间$(-1,0)$内至少有一个零点．
