每日一题[558]轨迹问题

已知直线$l:y=kx$与圆$C:x^2+(y-4)^2=4$相交于$M,N$两点.

屏幕快照 2016-07-25 上午9.26.47(1) 求$k$的取值范围;

(2) 若点$Q$在线段$MN$上,且满足$\dfrac{2}{|OQ|^2}=\dfrac{1}{|OM|^2}+\dfrac{1}{|ON|^2}$,求点$Q$的轨迹方程.


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分析与解 (1) 根据题意,有$$\dfrac{4}{\sqrt{1+k^2}}<2,$$即$k^2>3$,于是$k$的取值范围是$(-\infty,-\sqrt 3)\cup (\sqrt 3,+\infty)$.

(2) 根据题意,由圆幂定理及垂径定理可得$$\begin{cases} |OM|\cdot |ON|=12,\\ |OM|+|ON|=2\cdot \dfrac{4|k|}{\sqrt{1+k^2}},\end{cases} $$于是$$\dfrac{2}{|OQ|^2}=\dfrac{(|OM|+|ON|)^2-2\cdot |OM|\cdot |ON|}{(|OM|\cdot |ON|)^2}=\dfrac{5k^2-3}{18(1+k^2)}.$$设$Q(x,y)$,则$k=\dfrac yx$($y>0$),代入得$$\dfrac{2}{x^2+y^2}=\dfrac{5y^2-3x^2}{18(x^2+y^2)},$$化简得$$5y^2-3x^2=36,$$其中$\dfrac{y^2}{x^2}>3$,可得$x^2<3$且$x\neq 0$.从而所求点$Q$的轨迹方程为$$5y^2-3x^2=36(x^2<3,x\neq 0,y>0).$$

思考与总结 圆幂定理和垂径定理是直线与圆的位置关系问题中的重要定理,合理的运用这两个定理可以避开复杂的联立运算.

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每日一题[558]轨迹问题》有 3 条评论

  1. 漏卮续杯说:

    垂径定理那一步没看懂

    • tuulessa说:

      我是这样写的,不知有没有问题。。打字有点乱。。过圆心C作CP垂直于MN,则OM+ON=2CP=2√[CO2-d2]=2√[16-(16/1+k2)]=2⋅4|k|/√[1+k2]

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