切线与切线长

上周的方法技巧中的重要三角形由弦心距、半弦长与半径构成,这周我们来关注另一个重要直角三角形,即由切线长$PA$、圆外一点与圆心连线$PC$以及半径$r$构成的直角三角形,有$PC^2=PA^2+r^2$,如图:

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在很多问题中,要将切线长$PA$的最值问题转化成$PC$的最值问题.


例题一 已知$P$是直线$3x+4y+8=0$上的动点,$PA,PB$是圆$x^2+y^2-2x-2y+1=0$的两条切线,$A,B$是切点,$C$是圆心,则四边形$PACB$面积的最小值为_________.

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分析与解 因为四边形$PACB$的面积$$S=2\cdot\dfrac 12\cdot PA\cdot r=PA,$$所以本题即求切线长$PA$的最小值,如图:

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因为$PA=\sqrt{PC^2-1}$,所以只需要求出$PC$的最小值即可,当$CP$与直线垂直时,$PC$有最小值$$\dfrac {3+4+8}{\sqrt{3^2+4^2}}=3,$$所以$$S_{\min}=(PA)_{\min}=\sqrt{9-1}=2\sqrt 2.$$


例题二 已知圆$O:x^2+y^2=2$,直线$l:x+2y-4=0$,点$P(x_0,y_0)$在直线$l$上,若存在圆$C$上的点$Q$,使得$\angle OPQ=45^\circ$($O$为坐标原点),则$x_0$的取值范围是________.

分析与解 过$P$作圆$O$的切线$PA,PB$,其中$A,B$为切点,则对于圆上任意一点$Q$,有$\angle OPQ\leqslant \angle OPA$,且等号可取到.故当$\angle OPA\geqslant 45^\circ$时,$P$点满足要求,如下图:

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在$\rm{Rt}\triangle OAP$中,有$$\sin\angle OPA=\dfrac {OA}{OP}=\dfrac {\sqrt 2}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\geqslant \dfrac {\sqrt 2}{2},$$又$x_0+2y_0-4=0$,解得$0\leqslant x_0\leqslant \dfrac 85$.


最后给出两道练习:

练习一 点$P$是直线$2x+y+10=0$上的动点,直线$PA,PB$分别与圆$x^2+y^2=4$相切于$A,B$两点,则四边形$PAOB$的面积的最小值是_____.

答案 $8$.

练习二 已知点$P$是直线$x+y=m$上的动点,过$P$引圆$x^2+y^2=1$的两条切线$PA,PB$,满足$PA\perp PB$,求实数$m$的取值范围.

答案 $[-2,2]$.

提示 只需要$OP$能取到${\sqrt 2}r$即可,从而得到原点$O$到直线的距离小于等于$\sqrt 2$.

相关问题见每日一题[452]最大张角(点击阅读原文可直接链接到此篇).

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