有编号为$1,2,3,\cdots ,100$的$100$盏灯和编号为$1,2,3,\cdots ,100$的$100$个操作员．$100$盏灯初始时都是关闭的，$100$个操作员顺次操作，其中编号为$k$的操作员把所有编号为$k$的倍数的灯改变状态，如编号为$3$的操作员把编号为$3,6,9,\cdots ,99$的灯中关闭的灯打开，打开的灯关闭．那么最后亮着的灯有多少盏？ 继续阅读
已知函数$f(x)=\dfrac{2ax+a^2-1}{x^2+1}$在区间$[0,+\infty)$上既有最大值，又有最小值，则$a$的取值范围是______．
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，我们采取一种新的计数方式，基本想法是：先不考虑重叠情况，把所有包含在其中的部分的元素个数全部计算出来，再把重复计算的数目排除出去，使得计算的结果不重不漏，这种计数方法称为容斥原理．比如，为了统计某班语文成绩或数学成绩在$100$分以上的学生人数，我们可以先计算所有语文成绩在$100$分以上的，再计算所有数学成绩在$100$分以上的，重复计算的部分是语文与数学成绩都在$100$分以上的，所以减去这部分的学生人数就可以得到结果．
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1、已知数列$\{a_n\}$的通项$a_n=\dfrac{nx}{(x+1)(2x+1)\cdots (nx+1)}$，$n\in\mathcal N^*$，若$a_1+a_2+\cdots +a_{2015}<1$，则实数$x$可以是（ ）
A．$-\dfrac 32$
B．$-\dfrac{5}{12}$
C．$-\dfrac{9}{40}$
D．$-\dfrac{11}{60}$
已知函数$f(x)=x^2-2x+c$，若$\{x\mid f(x)=x\}=\{x\mid f(f(x))=x\}$，求实数$c$的取值范围． 继续阅读
圆有很多美好的性质，在解析几何中，处理直线与圆的相关问题的方法与以后处理直线与其它曲线的相关问题的方法有显著差异．判断直线与圆的位置关系、研究圆上的点到某直线的距离以及研究过圆内一点的弦的长度的范围等问题通常都转化为圆心到直线的距离$d$的范围问题，在这些问题中，由于圆的几何性质，大大简化了代数计算．为了方便，在本文中，圆中的弦长都用$m$表示，弦心距（即圆心到直线的距离）都用$d$表示． 继续阅读
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$如果有两根$x_1,x_2$，则有根与系数的关系$$x_1+x_2=-\dfrac ba,x_1x_2=\dfrac ca.$$我们称此为一元二次方程的韦达定理，在初中是通过求根公式证明的，现在给出另外更通用的证明方式．因为$x_1,x_2$是方程的两根，所以$$\begin{split} ax^2+bx+c=&a(x-x_1)(x-x_2)\\=&ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2,\end{split}$$对比两边的系数即得韦达定理．韦达定理给出了在不解出两根的情况下，两根和与两根积的表达，在高中数学中占有非常重要的地位． 继续阅读
已知函数$f(x)=|1-x^2|$，在$[0,1]$上任取一数$a$，在$[1,2]$上任取一数$b$，则满足$f(a)\leqslant f(b)$的概率为______ ．
若甲乙对局时，甲赢得单局比赛的概率为$p$($p>0.5$)，求证：在$2n+1$局$n+1$胜(如$5$局$3$胜)制的比赛中，甲最终胜出的概率随着$n$的增大而增大．
