每日一题[557]横看成岭侧成峰

已知函数$f(x)=3ax^2+2bx+(b-a)$,求证:$f(x)$在区间$(-1,0)$内至少有一个零点.


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分析与解 可以从零点的存在性定理和函数的形式两个方面入手.

法一 零点定理 显然当$a=0$时,$f(x)$有零点$x=-\dfrac 12$,符合题意.接下来讨论$a\neq 0$的情形,此时问题等价于证明函数$g(x)=3x^2+2tx+(t-1)$在区间$(-1,0)$内至少有一个零点,其中$t=\dfrac ba$.考虑到$g(-1)=2-t$,而$g(0)=t-1$,因此讨论如下.

情形一 $g(-1)\cdot g(0)<0$,即$t<1$或$t>2$.

此时根据零点的存在性定理,符合题意.

情形二 $g(-1)\cdot g(0)\geqslant 0$,即$1\leqslant t\leqslant 2$.

此时函数$g(x)$的对称轴$x=-\dfrac t3$在区间$(-1,0)$内,而其判别式$$\Delta=(2t)^2-4\cdot 3\cdot (t-1)=4(t^2-3t+3)>0.$$考虑到$g(-1)$和$g(0)$中至少有一个为正数,符合题意.

综上所述,$f(x)$在区间$(-1,0)$内至少有一个零点.

 考虑$g\left(-\dfrac 12\right)=-\dfrac 14$,结合$g(-1)$和$g(0)$中至少有一个为正数亦可.


法二 函数的形式 注意到函数$f(x)$是$$F(x)=ax^3+bx^2+(b-a)x$$的导函数.而$F(-1)=F(0)=0$,于是函数$F(x)$在区间$(-1,0)$内不单调,因此$F'(x)$在区间$(-1,0)$内必然有正有负,必然有零点.这样就证明了$f(x)$在区间$(-1,0)$内至少有一个零点.


更多解法见每日一题[386]分离变量法

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