1、在$\triangle ABC$中，$BC=2$，$AC=3$，$\overrightarrow {AD}=2\overrightarrow{DB}$，$CD=1$，则$\cos A=$_______．
2、在$\triangle ABC$中，$M$是$BC$的中点，$BM=2$，$AM=AB-AC$，则$\triangle ABC$的面积的最大值为_______．
3、在$\triangle ABC$中，$D$是边$BC$上一点，且$BD=4CD$，$\angle BAD=4\angle CAD=120^\circ$，若$AC=\sqrt 3$，则$\triangle ABC$的面积为_______．
4、已知$n$是正整数，求证：$\forall x\in\mathcal R^*,\left|\dfrac{\sin nx}{\sin x}\right|\leqslant n$．
5、已知不等式$\ln (x+1)-1\leqslant ax+b$对一切$x>-1$都成立，则$\dfrac{b}a$的最小值是_______．
6、设$f(x)={\rm e}^{-2x}(x+1)+x+x\ln x$，$x_1,x_2\in (0,1)$，求证：$f(x_1)-f(x_2)<{\rm e}^{-1}+2{\rm e}^{-2}$．
7、已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=ca_n^2+1-c$($n\in\mathcal N^*$)，其中常数$c\in \left(0,\dfrac 12\right)$．
（1）若$a_2>a_1$，求$a_1$的取值范围；
（2）若$a_1\in (0,1)$，求证：$\forall n\in {\mathcal N}^*,0<a_n<1$；
（3）若$a_1\in (0,1)$，求证：$a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2>n-\dfrac{1}{1-2c}$．
参考答案
1、$\dfrac{13\sqrt{21}}{63}$
2、$2\sqrt 3$
提示 以$BC$所在直线为$x$轴建系，点$A$既在以$M$为圆心的圆上，也在以$B,C$为焦点的双曲线上，而所求面积只与$A$的纵坐标相关．
3、$\sqrt 3$
提示 由正弦定理可得$$\dfrac{BD}{\sin \angle BAD}=\dfrac{AB}{\sin \angle BDA},\dfrac{AC}{\sin \angle ADC}=\dfrac{CD}{\sin \angle CAD},$$于是可得$AB=4$．
4、利用数学归纳法证明即可．
5、$1-{\rm e}$
提示 取函数$y=\ln (x+1)-1$的切线．
6、提示 可以证明函数$$g(x)={\rm e}^{-2x}(x+1)+x$$单调递增，从而有$$g(x)\in (1,1+2{\rm e}^{-2}).$$又因为$$x\ln x\in[-{\rm e}^{-1},0),$$于是得到所证结论．
7、（1）解关于$a_1$的不等式$$ca_1^2+1-c>a_1,$$可得$a_1<1$或$a_1>\dfrac 1c-1$．
（2）将递推关系变形为$$1-a_{n+1}=c(1-a_n)(1+a_n)$$即得．
（3）只需要证明$$(1-a_1^2)+(1-a_2^2)+\cdots +(1-a_n^2)<\dfrac{1}{1-2c}.$$考虑等比放缩，根据第（2）小题的结果，有$$\dfrac{1-a_{n+1}^2}{1-a_n^2}=c(1+a_{n+1})<2c,$$又$1-a_1^2<1$，从而原命题得证．