抽象集合具体化、形象化

集合中新定义问题很多,解决起来并没有统一思路,但是有些手段比较普遍.新定义问题通常比较抽象与陌生,所以可以尝试借助一些简单的例子或情形去帮助我们熟悉定义,对不熟悉的东西有一定感觉后再去尝试作出推论或者寻找证明方向.另外,对于抽象的描述,可以尝试用自己的语言重新表述;对于抽象集合的运算,可以尝试借助图形语言(数轴、韦恩图)与现有的运算结合起来思考.这些都是一些常用的处理手段.比如:

要判断集合$M=\left\{x\left|x=\dfrac k2+\dfrac 14,k\in\mathcal Z\right.\right \}$,$N=\left\{x\left|x=\dfrac k4+\dfrac 12,k\in\mathcal Z\right.\right \}$的关系.

我们可以尝试写出集合$M,N$中的元素,因为要比较集合间的关系,所以需要选择同一个起点往后或往前写,比如按从小到大的顺序写出几个大于零的数:$$\begin{split} M:\dfrac 14,\dfrac 34,\dfrac 54,\dfrac 74,\cdots,\\N:\dfrac 14,\dfrac 24,\dfrac 34,\dfrac 44,\cdots.\end{split} $$于是推测$M\subsetneqq N$,再去证明.尝试过程也给了我们提示,因为$$\forall x\in M,x=\dfrac k2+\dfrac 14=\dfrac {2k+1}{4}=\dfrac {2k-1}{4}+\dfrac 12\in N,$$并且$$\exists \dfrac 12\in N,\dfrac 12\notin M,$$所以$M\subsetneqq N$.


例题一 设$A$是整数集的一个非空子集,对于$k\in A$,如果$k-1\notin A$,且$k+1\notin A$,那么$k$是$A$的一个“孤立元”,给定$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$,由$S$的$3$个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有______个;由$S$的$4$个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有______个.

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分析与解 “孤立元”的意思是一个数前后的数都不在集合中,而一个集合中没有“孤立元”,意味着每个元素都至少需要与一个别的元素相连.如果一个集合中只有三个元素,则它们只能是连续的三个整数,从而满足条件的三元集合只能有$$\{1,2,3\},\{2,3,4\},\cdots,\{6,7,8\},$$所以共有$6$个集合;而四个元素的集合可以是连续的四个数,也可以两两相连,连续四个数构成的集合有$$\{1,2,3,4\},\{2,3,4,5\},\cdots,\{5,6,7,8\}$$共有$5$个;两两相连的四个数列举如下:$$\begin{split} 1,2,+4,5;/5,6;/6,7;/7,8;\\2,3,+5,6;/6,7;/7,8;\\3,4,+6,7;/7,8;\\4,5,+7,8.\end{split} $$所以两两相连的四元集合的个数为$$4+3+2+1=10.$$所以不含“孤立元”的四元集合共有$15$个.


例题二 对于集合$M$,定义函数$$f_M(x)=\begin{cases} -1,x\in M,\\1,x\notin M.\end{cases}$$对于两个集合$M,N$,定义集合$$M\Delta N=\{x\left|\right.f_M(x)\cdot f_N(x)=-1\}.$$已知$A=\{2,4,6,8,10\}$,$B=\{1,2,4,8,16\}$,用$|M|$表示有限集合$M$中的元素个数.
(1)集合$A\Delta B=$_______;
(2)当$M=\{1,2,3\}$时,$|M\Delta A|+|M\Delta B|=$______;
(3)对于任意集合$M$,$|M\Delta A|+|M\Delta B|$的最小值为_______.

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分析与解 首先要去理解集合新定义的运算,如果$x\in M\Delta N$中,那么$f_M(x),f_N(x)$一正一负,即$x$恰好是$M,N$其中一个集合中的元素,如图:
屏幕快照 2016-07-01 上午11.33.19于是问题(1)(2)可以直接得到结果.

(1)$A\Delta B=\{1,6,10,16\}$;

(2)$M\Delta A=\{1,3,4,6,8,10\},M\Delta B=\{3,4,8,16\}$,从而(2)的结果为$10$.

(3)下面考虑$M$中有哪些元素时,$|M\Delta A|+|M\Delta B|$最小.

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如图,我们知道$$C\cup M_1=\{2,4,8\},A_1\cup A_2=\{6,10\},B_1\cup B_2=\{1,16\}.$$而$$\begin{split} M\Delta A=A_1\cup C\cup B_2\cup M_2,\\M\Delta B=B_1\cup C\cup A_2\cup M_2,\end{split} $$于是知$$\begin{split} &|M\Delta A|+|M\Delta B|\\=&|A_1|+|C|+|B_2|+|M_2|+|B_1|+|C|+|A_2|+|M_2|\\=&4+2(|C|+|M_2|).\end{split} $$所以当$$C=\varnothing,M_2=\varnothing$$时,有最小值$4$,此时$M_1=\{2,4,8\}\subseteq M$,而$6,10,1,16$是否是集合$M$中的元素并不影响结果.


练习一 已知集合$A=\{x|x=2k+1,k\in \mathcal Z\}$,$B=\{x|x=4k\pm 1,k\in\mathcal Z\}$,则下列关系正确的是(  )
A.$A\subsetneqq B$
B.$B\subsetneqq A$
C.$A=B$
D.以上都不正确

答案 C


练习二 对任意两个集合$M,N$,定义$M-N=\{x|x\in M,\land x\notin N\}$(注:“$\land$”表示“且”),$M\Delta N=(M-N)\cup (N-M)$,记$M=\{x|x^2-3x-4\leqslant 0\}$,$N=\{x|x^2+x>0\}$,则$M\Delta N=$_______.

答案 $(-\infty,0]\cup (4,+\infty)$.

提示 数轴上只有一条线的部分就对应所求集合.

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