已知空间四边形$ABCD$的四个顶点都在球$O$的球面上，$E,F$分别是$AB,CD$的中点，且$EF\perp AB$，$EF\perp CD$．若$AB=EF=4$，$CD=8$，则球$O$的半径为_______． 继续阅读
已知数列$a_n=\dfrac{2^n}3$，$n\in\mathbb N^*$，$b_n=\left[a_n\right]$，其中$[x]$表示$x$的整数部分，则数列$\{b_n\}$的前$2n$项和为_______．
已知函数$f(x)={\rm e}^x-ax-1$，$g(x)=\ln x-ax+a$，若存在$x_0\in (1,2)$，使得$f(x_0)g(x_0)<0$，则实数$a$的取值范围是_______．
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的长轴上一点$M(m,0)$，垂直于$x$轴直线$l$与$x$轴交于点$N\left(\dfrac{a^2}{m},0\right)$．过$M$且斜率不为$0$的直线与椭圆交于$A,B$两点，分别过$A,B$作直线$l$的垂线，垂足为$A_1,B_1$．设$\triangle MAA_1$，$\triangle MBB_1$，$\triangle A_1B_1M$的面积分别为$S_1,S_2,S_3$，求证：$\dfrac{S_1S_2}{S_3^2}$为定值．
已知$\dfrac{\cos^3\alpha}{\cos\beta}+\dfrac{\sin^3\alpha}{\sin\beta}=1$，求证：$\left(\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}-\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}\right)\left(\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}+\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}+1\right)=0$．
若离散型随机变量$X,Y$满足$2\leqslant X\leqslant 3$，且$XY=1$，则$E(X)E(Y)$的取值范围为_______．
已知函数$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$，则关于$x$的方程$\left|f(x+1)-f(x)\right|=1$的实数解的个数为_______．
已知$a,b\geqslant 0$，$a+b=1$，则$3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}$的最大值是______，最小值是_______．
已知$a,b,c$是不全为$0$的实数，求证：$5\left[a^2+(b+c)^2\right]>7(ab+bc+ca)$．
