每日一题[1079]根与系数的转化

已知函数 \(f(x)=x|x-4|\)\(x\in\mathbb R\)),若存在正实数 \(k\),使方程 \(f(x)=k\) 在区间 \((2,+\infty)\) 上有两个实数解 \(a,b\),其中 \(a<b\),则 \(ab-2(a+b)\) 的取值范围是_________


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正确答案是\((-4,0)\)

函数 \(f(x)\) 的图象如下:
根据题意,有\[2<a<4<b,\]于是\[a(4-a)=b(b-4)=k,\] \(k\) 的取值范围是 \((0,4)\).注意到所求代数式\[p=ab-2(a+b)=(a-2)(b-2)-4,\] \(a-2=m\)\(b-2=n\),则条件即\[(2+m)(2-m)=(n+2)(n-2)=k,\]也即\[m^2=4-k,n^2=4+k,\]于是\[p=mn-4=\sqrt{16-k^2}-4,\]其取值范围是 \((-4,0)\)

 也可以直接解出$$a-2=\sqrt{4-k},b-2=\sqrt{4+k}.$$

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