每日一题[1084]三角综合

在锐角 \(\triangle ABC\) 中,角 \(A,B,C\) 所对的边分别为 \(a,b,c\),且\[\dfrac{b}{(a+c)\sin A}=\dfrac{1}{\cos\left(B+\dfrac{3\pi}2\right)}.\]

1)求证:\(\cos B=2\cos^2A-1\)

2)若 \(m<\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}<n\),求 \(n-m\) 的最小值.


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1由正弦定理和诱导公式,可得\[\dfrac{\sin B}{\left(\sin A+\sin C\right)\cdot \sin A}=\dfrac{1}{\sin B},\]也即\[\sin^2B-\sin^2A=\sin A\cdot \sin C.\]根据三角平方差公式,有\[\sin^2B-\sin^2A=\sin(B+A)\cdot \sin(B-A),\]于是\[\sin (B-A)=\sin A,\]因此 \(B=2A\),进而由二倍角公式可得\[\cos B=2\cos^2A-1.\]

 (2)根据第 \((1)\) 小题的结果,有\[\begin{split}\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}=&\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1-\tan^2A}{2\tan A}\\=&\dfrac{1+\tan^2A}{2\tan A}\\=&\dfrac{1}{\sin 2A}=\dfrac{1}{\sin B}.\end{split}\]根据 \(\triangle ABC \) 是锐角三角形,可得 \( B \) 的取值范围是 \( \left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right)\).因此 \(\dfrac{1}{\sin B}\) 的取值范围是 \(\left(1,\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)\),因此 \(n-m\) 的最小值是 \(\dfrac{2}{\sqrt 3}-1\)

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