每日一题[1075]抓住主要矛盾

如图,点 \(P\) 是正方体 \(ABCD\) 外的一点,过点 \(P\) 作直线 \(l\),记直线 \(l\) 与直线 \(AC_1,BC\) 的夹角分别为 \(\theta_1,\theta_2\),若 \(\sin\left(\theta_1-50^\circ\right)=\cos\left(140^\circ-\theta_2\right)=\dfrac 12\),则满足条件的直线 \(l\) 的条数为(  )
A.\(1\)
B.\(2\)
C.\(3\)
D.\(4\)


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正确答案是D

分析与解 易知 \(\theta_1=\theta_2=80^\circ\),而 \(AC_1\) \(BC\) 所成的角为 \(\arctan\sqrt 2\),且\[45^\circ<\arctan\sqrt 2<60^\circ.\]题意即过空间一点 \(P\) 且与所成角为 \(\arctan\sqrt 2\) 的两条直线所成角均为 \(80^\circ\) 的直线条数.
将所有直线都平移,使之都过点 \(P\),如图.设 \(\langle l_1,l_2\rangle =\arctan \sqrt 2\),取 \(l_1,l_2\) 的一条角平分线将其绕 \(P\) 点旋转至与 \(l_1,l_2\) 都垂直,则在旋转过程中 \(l\) \(l_1,l_2\) 所成的角始终相等,且从 \(\dfrac 12\arctan\sqrt 2\) 变化到 \(90^\circ\).类似的,取 \(l_1,l_2\) 的另一条角平分线(在 \(l_1,l_2\) 所确定的平面内且与如图所示角平分线垂直),则旋转过程中 \(l\) \(l_1,l_2\) 所成的角始终相等,且从 \(90^\circ-\dfrac 12\arctan\sqrt 2\) 变化到 \(90^\circ\).考虑到\[\dfrac 12\arctan\sqrt 2<80^\circ,90^\circ-\dfrac 12\arctan\sqrt 2<80^\circ,\]因此两个旋转过程中都存在符合题意的直线.结合对称性可知,满足条件的直线共有 \(4\) 条.

一般结论若直线 \(l_1,l_2\) 所成的角为 \(\alpha\),空间中过点 \(P\) 且与 \(l_1,l_2\) 所成角均为 \(\theta\) 的直线条数\[n=\begin{cases} 1,&\theta=90^\circ,\\4,&90^\circ-\dfrac \alpha 2<\theta<90^\circ,\\3,&\theta=90^\circ-\dfrac \alpha 2,\\2,&\dfrac \alpha 2<\theta<90^\circ-\dfrac \alpha 2,\\1,&\theta=\dfrac \alpha 2,\\0,&0\leqslant \theta<\dfrac \alpha 2.\end{cases} \]

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