Math173

已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为$x_1,x_2,x_3,x_4$，大圆盘上所写的实数分别记为$y_1,y_2,y_3,y_4$，如图所示．将小圆盘逆时针旋转$i\ (i=1,2,3,4)$次，每次转动$90^\circ$，记$T_i\ (i=1,2,3,4)$为转动$i$次后各区域内两数乘积之和，例如$T_1=x_1y_2+x_2y_3+x_3y_4+x_4y_1$．若\[x_1+x_2+x_3+x_4<0,\ y_1+y_2+y_3+y_4<0\]则以下结论正确的是(　　)
A．$T_1,T_2,T_3,T_4$中至少有一个为正数
B．$T_1,T_2,T_3,T_4$中至少有一个为负数
C．$T_1,T_2,T_3,T_4$中至多有一个为正数
D．$T_1,T_2,T_3,T_4$中至多有一个为负数 继续阅读 →

有三支股票A、B、C，$28$位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票人数的$2$倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其他股票的人数多$1$．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是________．

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已知坐标平面上一点$A(0,6)$，点$B$在$x$轴上运动，$C$是坐标平面内一点且满足$\angle ACB=120^\circ$，$CA=CB$，则线段$OC$长度的最小值是_______．

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设$P$为椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上的动点，$F_1,F_2$为椭圆的两个焦点，$I$为$\triangle PF_1F_2$的内心，求点$I$的轨迹方程．

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已知$O$为$\triangle ABC$的外心，且$\overrightarrow{BO}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}$．
(1) 若$\angle C=90^\circ$，则$\lambda+\mu=$_______；
(2) 若$\angle ABC=60^\circ$，则$\lambda+\mu$的最大值为_______．
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已知$f(x)=2\ln (x+2)-(x+1)^2$，$g(x)=k(x+1)$．
(1) 求$f(x)$的单调区间；
(2) 当$k=2$时，求证：$\forall x>-1,f(x)<g(x)$．
(3) 若存在$x_0>-1$，使得当$x\in (-1,x_0)$时，恒有$f(x)>g(x)$成立，试求$k$的取值范围．

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在数列$\{a_n\}$中，若对任意的$n\in\mathbb N^*$，都有$\dfrac{a_{n+2}}{a_{n+1}}-\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=t$，其中$t$为常数，则称数列$\{a_n\}$为比等差数列，$t$称为比公差．现给出以下命题：
(1)等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
(2)若数列$\{a_n\}$满足$a_n=\dfrac{2^{n-1}}{n^2}$，则数列$\{a_n\}$是比等差数列，且比公差$t=\dfrac 12$；
(3)若数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_2=2$，$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$($n\geqslant 3$)，则该数列不是比等差数列；
(4)若$\{a_n\}$是等差数列，$\{b_n\}$是等比数列，则数列$\{a_nb_n\}$是比等差数列．
其中所有真命题的序号是_______．

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已知$f(x)=\ln x-x^3+2{\rm e}x^2-ax$有$2$个零点，求实数$a$的取值范围．

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