若对任意 $x\in D$，总有 $f(x)<F(x)<g(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $D$ 上的一个严格分界函数．
（1）求证：$y={\rm e}^x$ 是 $y=1+x$ 和 $y=1+x+\dfrac 12x^2$ 在 $(-1,0)$ 上的一个严格分界函数；
（2）函数 $h(x)=2{\rm e}^x+\dfrac{1}{1+x}-2$，若存在最大整数 $M$，使得 $h(x)>\dfrac{M}{10}$ 在 $x\in (-1,0)$ 恒成立，求 $M$ 的值．
已知不等式 $\left(1+\dfrac 1n\right)^{n-a}\geqslant {\rm e}$ 对任意正整数 $n$ 都成立，试求实数 $a$ 的取值范围．
已知直线 $l$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 相切于点 $P$，$l$ 与双曲线的两条渐近线交于 $M,N$ 两点，则 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 的值为（ ）
A．$3$
B．$4$
C．$5$
D．以上答案都不对
设函数 $f(x)=x^2+ax-\ln x$．
（1）若 $a=1$，试求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）令 $g(x)=\dfrac{f(x)}{{\rm e}^x}$，若函数 $g(x)$ 在区间 $(0,1]$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=-\dfrac a2x^2+(a-1)x+\ln x$．
（1）若 $a=-\dfrac 12$，求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $a>1$，求证：$(2a-1)f(x)<3{\rm e}^{a-3}$．
已知 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，且 $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)\cdot f(y)-xy$，求所有满足条件的函数 $f(x)$．
已知 $a\in(0,1)$，函数 $f(x)=x-\dfrac ax-(a+1)\ln x+a-1$，$g(x)=\dfrac{x+a}{x-1}\ln x$．
（1）求证：$f(x)$ 有 $2$ 个零点；
（2）当 $x\in (0,1)$ 时，求证：$g(x)$ 有最小值 $h(a)$，且 $0<h(a)<2$．
已知函数 $f(x)=\ln (x+2a)-ax$，$a>0$．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）记 $f(x)$ 的最大值为 $M(a)$，若 $a_2>a_1>0$ 且 $M(a_1)=M(a_2)$，求证：$a_1a_2<\dfrac 14$；
（3）若 $a>2$，记集合 $\{ x\mid f(x)=0\}$ 中的最大元素为 $x_0$，设函数 $g(x)=|f(x)|+x$，求证：$x_0$ 是 $g(x)$ 的极小值点．
若对任意实数 $x,y\in [0,+\infty)$，$4ax\leqslant {\rm e}^{x+y-2}+{\rm e}^{x-y-2}+2$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值是（ ）
A．$\dfrac 14$
B．$\dfrac 12$
C．$1$
D．$2$
如图，某市在海岛 \(A\) 上建了一水产养殖中心．在海岸线上有相距 \(70\) 公里的 \(B,C\) 两个小镇，并且 \(AB=30\) 公里，\(AC=80\) 公里，已知 \(B\) 镇在养殖中心工作的员工有 \(3\) 百人，\(C\) 镇在养殖中心工作的员工有 \(5\) 百人．现欲在 \(BC\) 之间建一个码头 \(D\)，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为 \(1:2\)．
（1）求 \(\sin\angle ABC\) 的大小；
（2）设 \(\angle ADB=\theta\)，试确定 \(\theta\) 的大小，使得运输总成本最少．
